Численные методы решения линейных уравнений

Численные методы решения линейных уравнений

В этом разделе приведены примеры решенных задач по теме нахождения корней систем уравнений (как линейных, так и нелинейных) численными методами. Для первой группы (системы линейных алгебраических уравнений, СЛАУ) обычно используют методы Гаусса, простой итерации, Якоби, Зейделя, релаксации. Для второй группы — метод Ньютона, простой итерации, скорейшего спуска. Большая часть из них разобраны в подробных примерах ниже.

Примеры приближенных решений систем уравнений онлайн

Задача 1. Решить систему линейных уравнений $Ax=b$ методом Зейделя.
Итерационными методами решение задачи найти с точностью $varepsilon=10^<-3>$.
УКАЗАНИЕ. Для выполнения достаточного условия сходимости воспользоваться перестановкой строк в исходной системе уравнений.

Задача 2. 1) Решите систему линейных уравнений методом "Простой итерации" с точностью 0,001, предварительно оценив число достаточных для этого итераций:
2) Полученное решение используйте для вычисления невязки каждого уравнения.
3) Все полученные приближения решения системы привести в итоговом отчете.
4) Не забываем начинать отчет с формулировки задания.

Задача 3. 1) Методом Зейделя решите с точностью 0,001 систему линейных уравнений, приведя ее к виду с диагональным преобладанием, а затем к виду удобному для итераций.
2) Полученное решение используйте для вычисления невязки каждого уравнения.
3) Все полученные приближения решения системы привести в итоговом отчете.
4) Не забываем начинать отчет с формулировки задания.

Задача 4. Используя метод итераций, решите систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.

Задача 5. Используя метод Ньютона, решите систему нелинейных уравнений с точностью до 0,001.

Задача 6. Решить системы линейных уравнений с точностью до 0.001 методами простой итерации и Гаусса-Зейделя, предварительно проверив на сходимость.

Рубрика: Информационные технологии

Дата публикации: 06.03.2019 2019-03-06

Статья просмотрена: 973 раза

Библиографическое описание:

Майканова А. У., Шонин М. Ю., Бекмухометова С. А., Плотникова Е. А., Пензина И. В. Численные методы решения систем линейных алгебраических уравнений. Метод Гаусса // Молодой ученый. — 2019. — №10. — С. 1-5. — URL https://moluch.ru/archive/248/56999/ (дата обращения: 23.03.2020).

В статье рассматривается алгоритм метода Гаусса для решения систем линейных алгебраических уравнений. Выбран язык Maple, как наиболее оптимальный для реализации алгоритма. В статье содержится листинг программного кода.

Ключевые слова: система линейных алгебраических уравнений, метод Гаусса, алгоритм реализации метода Гаусса, прямой и обратный ход, программный код.

В прикладных задачах довольно часто приходится решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это не удивительно, поскольку математические модели тех или иных процессов либо сразу строятся как СЛАУ, либо сводятся к таковым посредством дискретизации или линеаризации.

Метод Гаусса прекрасно подходит для решения СЛАУ. Являясь наиболее мощным и универсальным инструментом для нахождения решения СЛАУ, он обладает рядом преимуществ: 1) нет необходимости предварительно исследовать систему уравнений на совместность; 2) методом Гаусса можно решать не только СЛАУ, в которых число уравнений совпадает с количеством неизвестных переменных и основная матрица системы невырожденная, но и системы уравнений, в которых число уравнений не совпадает с количеством неизвестных переменных или определитель основной матрицы равен нулю; 3) метод Гаусса приводит к результату при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

Но главное, что было отмечено в работе «Метод Гаусса в школе» М. Ю. Шонина и Л. А. Мамедалиной, «Метод Гаусса решения СЛАУ с числовыми коэффициентами в силу простоты и однотипности выполняемых операций пригоден для счета на электронно-вычислительных машинах» [3].

Настоящая статья посвящена составлению и апробации алгоритма численного решения СЛАУ в соответствии с алгоритмом метода Гаусса. Рассмотрим следующую задачу.

Читайте также:  Показы в инстаграм в статистике что это

Задача. Решить систему линейных алгебраических уравнений [1]

Для численного решения СЛАУ воспользуемся математическим пакетом Maple 15. В соответствии с условием задачи имеем:

и

Для эффективной работы в необходимо разбираться в тонкостях языка. К ним относится, например, команда и переменная .

Команда — очищает память . Это означает, что все определенные для этого в программе переменные и другие объекты будут стерты. При этом текст программы останется неизменным. Данная функция необходима для осуществления компиляции.

Переменная возвращает необходимое количество знаков после запятой . Установим точность вычисления . Поскольку нам придется иметь дело с матрицей и вектор-столбцом, то необходимо подключить библиотеку линейной алгебры — . Введем данные в программу.

>

>

>

>

>

>

>

В соответствии с логикой метода Гаусса, программа должна привести матрицу к треугольному виду (Прямой ход). Целесообразно воспользоваться циклом со счетчиком . Цикл предназначен для реализации итерационных (повторяющихся) действий [2].

>

>

>

>

>

Следующий этап — обратный ход, построчное вычисление входящих в систему переменных и их вывод на экран.

>

>

>

Заключительным этапом программы служит проверка адекватности найденного решения. Для этого воспользуемся командой решения СЛАУ — .

>

Найдем абсолютную погрешность (модуль разности значений переменных, полученных путем численного решения и при помощи встроенной команды соответственно). Команда выполняет операции над матрицами. Команда возвращает абсолютные значения.

>

Анализируя последние результаты, можно констатировать высокую точность вычисления. Таким образом, разработанная программа вполне адекватна для решения СЛАУ.

  1. Ильин В. А. Линейная алгебра: Учебник для вузов / В. А. Ильин, Э. Г. Позняк. — 6-е изд., стер. — М.: Физматлит, 2004. — 280 с.
  2. Кирсанов М. Н. Практика программирования в системе Maple. — М.: Издательский дом МЭИ, 2011. — 208 с.
  3. Мамедалина Л. А. Метод Гаусса в решении СЛАУ в школе / Л. А. Мамедалина, М. Ю. Шонин // Весенний школьный марафон: материалы III Междунар. науч.-практ. конф. школьников (Чебоксары, 31 мая 2016 г.) / редкол.: О. Н. Широков [и др.] — Чебоксары: ЦНС «Интерактив плюс», 2016. — С. 139–143.

Похожие статьи

Организация приближённого решения интегральных уравнений.

Разработано много приближённых методов решения интегральных уравнений и

В последнее время для решения задач вычислительной математики часто применяют

3. Вержбицкий В. М. Численные методы. Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения.

Организация численных методов в MathCAD | Статья в журнале.

приближенное решение , метод трапеций, метод итераций , квадратурная формула трапеций, команда, математическая система, метод

Применение описанных в статье методов позволяет восстановить утраченные исходные коды простых линейных и итерационных.

Методы решения нелинейных уравнений

Статья посвящена изучению методов решения нелинейных уравнений, в том числе, с использованием системы автоматизированного проектирования MathCAD. Рассмотрены шаговый метод, методы половинного деления и Ньютона.

Аппроксимация полиномов n степени методом наименьших.

Приведено подробное решение для уравнений 2 степени, рассматриваемой проблемы. Представлена рабочая программа.

Впервые, метод был применён в 1796 году Фридрихом Гауссом, а в 1805 году Адриен Лежандр опубликовал метод под насущным названием.

Применение итерационного алгоритма Шульца в рекуррентных.

Метод Гаусса—Жордана. Сложность алгоритма — . — С помощью матрицы алгебраических дополнений.

В алгоритмах Гаусса и LU-разложения обратная матрица получается после фиксированного числа арифметических операций.

Модульный анализ сеточных методов решения.

Решение дифференциальных уравнений сеточными методами есть задача вычисления приближенных значений функций в узлах ; для различных моментов времени . Исходная дифференциальная задача аппроксимируется системой сеточных уравнений.

Читайте также:  Свойства бесконечно больших последовательностей

Применение метода вариационных итераций к приближенному.

Метод очень прост и удобен. Ключевые слова: дифференциальные уравнения, метод

Решения таких уравнений методом вариационных итераций было показано многими

Для решения этой задачи применяем вышеописанную алгоритм МВИ для ОДУ второго порядка.

Методическое обеспечение решения математических моделей

Им принадлежит применяемый метод решения систем алгебраических линейных уравнений и вычислительная система. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений подразделяются на и прямые. Прямые используют метод Гаусса, а итерационные методы.

К вопросу о реализации профессиональной направленности.

решение систем алгебраических уравнений методами: Крамера, Гаусса, с помощью обратной матрицы. Алгоритмы решения «базовых» профессиональных задач разбираются на практических занятиях и даются студентам для типовых расчетов.

2.1. Постановка задачи

Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений: , где матрица m×m, — искомый вектор, — заданный вектор. Будем предполагать, что определитель матрицы отличен от нуля, т.е. решение системы существует.

Методы численного решения системы делятся на две группы: прямые методы («точные») и итерационные методы. Прямыми методами называются методы, позволяющие получить решение системы за конечное число арифметических операций. К этим методам относятся метод Крамера, метод Гаусса, LU-метод и т.д. Итерационные методы (методы последовательных приближений) состоят в том, что решение системы находится как предел последовательных приближений при , где — номер итерации. При использовании методов итерации обычно задается некоторое малое число и вычисления проводятся до тех пор, пока не будет выполнена оценка . К этим методам относятся метод Зейделя, Якоби, метод верхних релаксаций и т.д.

Следует заметить, что реализация прямых методов на компьютере приводит к решению с погрешностью, т.к. все арифметические операции над переменными с плавающей точкой выполняются с округлением. В зависимости от свойств матрицы исходной системы эти погрешности могут достигать значительных величин.

В нашем случае необходимо решить следующую систему линейных алгебраических уравнений.

2.2. Метод Гаусса

Запишем систему в развернутом виде:

Метод Гаусса состоит в последовательном исключении неизвестных из этой системы. Предположим, что . Последовательно умножая первое уравнение на и складывая сi-м уравнением, исключим из всех уравнений кроме первого. Получим систему:

где , , .

Аналогичным образом из полученной системы исключим . Последовательно, исключая все неизвестные, получим систему треугольного вида:

Описанная процедура называется прямым ходом метода Гаусса. Заметим, что ее выполнение было возможно при условии, что все , не равны нулю.

Выполняя последовательные подстановки в последней системе, (начиная с последнего уравнения) можно получить все значения неизвестных.

,

Эта процедура получила название обратный ход метода Гаусса.

Метод Гаусса может быть легко реализован на компьютере. При выполнении вычислений, как правило, не интересуют промежуточные значения матрицы . Поэтому численная реализация метода сводится к преобразованию элементов массива размерности (×()), где столбец содержит элементы правой части системы.

Для контроля ошибки реализации метода используются так называемые контрольные суммы. Схема контроля основывается на следующем очевидном положении. Увеличение значения всех неизвестных на единицу равносильно замене данной системы контрольной системой, в которой свободные члены равны суммам всех коэффициентов соответствующей строки. Создадим дополнительный столбец, хранящий сумму элементов матрицы по строкам. На каждом шаге реализации прямого хода метода Гаусса будем выполнять преобразования и над элементами этого столбца, и сравнивать их значение с суммой по строке преобразованной матрицы. В случае не совпадения значений счет прерывается.

Читайте также:  Стиральная машина канди экстра 5 кг инструкция

Один из основных недостатков метода Гаусса связан с тем, что при его реализации накапливается вычислительная погрешность. Для больших систем порядка число действий умножений и делений близко к .

Для того, чтобы уменьшить рост вычислительной погрешности применяются различные модификации метода Гаусса. Например, метод Гаусса с выбором главного элемента по столбцам, в этом случае на каждом этапе прямого хода строки матрицы переставляются таким образом, чтобы диагональный угловой элемент был максимальным. При исключении соответствующего неизвестного из других строк деление будет производиться на наибольший из возможных коэффициентов и следовательно относительная погрешность будет наименьшей.

Существует метод Гаусса с выбором главного элемента по всей матрице. В этом случае переставляются не только строки, но и столбцы . Использование модификаций метода Гаусса приводит к усложнению алгоритма увеличению числа операций и соответственно к росту времени счета.

Алгоритм Гауссовских преобразований с выбором главного элемента по всей матрице:

Выберем ведущий элемент в какой-либо строке (для простоты расчетов лучше, если он будет равен 1).

Разделим ведущую строчку на ведущий элемент.

Обнулим элементы ведущего столбца

Остальные элементы пересчитаем по правилу прямоугольника

Столбец-контроль используется для контроля правильности вычислений. В первой таблице в нем собираются суммы по строкам. Пересчитывается, он также как и все остальные элементы. Если после пересчета в нем все равно остались суммы по строкам, значит, вычисления были проведены верно.

Рисунок 13 – Реализация алгоритма методом Жордана-Гаусса

Опишем механизм создания листа Excel с реализацией метода Гаусса.

На лист Excel занесем значения на начальной итерации. При столбцах х1, х2, х3 запишем основную матрицу системы. В столбце bзапишем столбец свободных коэффициентов. В столбцах «пересчитанная сумма» и «сумма» (они пока не отличаются способом расчета) автосуммируем все значения по строкам исходной матрицы.

На следующих итерациях «пересчитанная сумма» будет пересчитываться так же, как и все остальные элементы, а в «сумме» по-прежнему будут автосуммы по строкам. Если значения в 2 этих столбцах будут равны, значит, вычисления проведены верно.

Приведем пример пересчета элемента 1 (ячейка B3)

В ячейку D3 будет записано значение 43.

Чтобы эффективно использовать формулы Excel, создавая их только один раз, и затем копируя их, будем использовать абсолютные и относительные адреса ячеек. Если в адресе ячейки проставить знаки $ перед строкой или перед столбцом, то имя столбца или номер строки не будут смещаться в направлении копирования при копировании. Используем это свойство для создания рабочих формул Excel. Для перехода между относительными и абсолютными адресами ячеек используем клавишу F4.

Рисунок 14 – Рабочие формулы реализации метода Жордана-Гаусса

Если ведущий элемент не равен 1, то при пересчете возникают дробные значения, поэтому выделим ячейки, содержащие дробные значения и в меню Формат, команда Ячейки выберем вкладку Число и применим Дробный форма. Выберем тип «Дробями до двух цифр» поскольку именно столько цифр было в ведущем элементе, на который делились элементы (в нашем случае ведущий элемент на первой итерации был равен 43).

Рисунок 15 –установка дробного формата.

Продолжаем итерации пока не получим матрицу с единичными столбцами. Снова выпишем преобразованную систему линейных алгебраических уравнений.

Фактически, на последней итерации получаем точное решение.

Жордано-Гауссовские преобразования избавляют от необходимости ведения обратного хода Гаусса.

Ссылка на основную публикацию
Четкие аватарки для стима
Помощь в выборе аватарки Не знаете, какими могут быть аватарки для стима и какую из них лучше выбрать? Где искать...
Чаша для мультиварки redmond rmc 250
Данный товар недоступен для доставки в Ваш регион Мы всегда стремимся к лучшему, чтобы радовать своих покупателей самыми выгодными ценами....
Чего трубку не берешь
Мне не нравиться когда ты не берешь трубку или сбрасываешь вызов. Если мне не изменяет память, я об этом тебе...
Четырехугольник можно вписать в окружность если
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника. Описанный...
Adblock detector