Что является квадратом натурального числа

Из основной теоремы арифметики следует, что точный квадрат всегда имеет нечетное число делителей: если число $a=p_<1>^<alpha_<1>> imes p_<2>^<alpha_<2>> imesldots imes p_^<alpha_>$ есть точный квадрат, то показатели степеней $alpha_<1>,alpha_<2>,ldots,alpha_$, четны, а число делителей числа a, равное $(alpha_<1>+1)(alpha_<2>+1)ldots(alpha_+1)$ нечетно.

Точно так же у точного куба число делителей имеет вид 3n+1, у четвертой степени — число вида 4n+11 и т.д.

При работе со степенями целых и натуральных чисел всегда следует иметь в виду, что степень с большим показателем также является и степенью с маленьким показателем: например, а 100 — это одновременно и квадрат пятидесятой степени, и четвертая степень двадцать пятой степени, и пятая степень двадцатой степени, и т.п. Ясно, что показатель степени таким образом можно уменьшить для любого составного числа n, а для простого n это ничего не даст.

При решении задач полезным может оказаться следующее свойство точных квадратов:

Квадрат числа при делении на любое число дает тот же остаток, что и квадрат его остатка.

Действительно, если r — остаток от деления k на b, то k 2 и r 2 дают при делении на b один и тот же остаток: $k^2-r^2=(k-r)(k+r)$, а k-r делится на b.

Например, число k при делении на 6 может давать остатки 0, 1, 2, 3, 4, 5, их квадраты — 0, 1, 4, 9, 16, 25, а остатки от деления квадратов на 6 — это 0, 1, 4, 3, 4, 1. Таким образом, квадрат числа при делении на 6 не может давать остатков 2 и 5.

Теми же рассуждениями легко получить, что возможные остатки при делении точного квадрата на 3 и на 4 — это 0 или 1.

Пример 1: Является ли число $123^2+345^2+567^2$ точным квадратом?

Ответ: Все три числа в заданной сумме нечетны, следовательно, их квадраты имеют вид 4п+1, так что их сумма имеет вид 4т+3 и поэтому не является точным квадратом.

Пример 2: Является ли число $[50pi]^2+[100pi]^2$ точным квадратом?

Ответ: Поскольку числа $[50pi]$, $[100pi]$ — это на самом деле 157 и 314, то оба они не делятся на 3, и поэтому их квадраты имеют вид Зn+1, а сама заданная сумма имеет вид 3m+2 и, следовательно, не является точным квадратом

Пример 3: Доказать, что если два числа оба не делятся на 3, то их сумма не является точным квадратом.

Ответ: Так как квадрат любого натурального числа, не делящегося на 3, при делении на 3 дает остаток 1, то сумма любых двух таких чисел при делении на 3 дает остаток 2, а такое число не может быть точным квадратом.

Понятие квадрата обобщается на произвольные мультипликативные группы. В частности, в кольцах вычетов квадратам соответствуют квадратичные вычеты.

См. также

Примечания

1. ↑ K. Brown. No Four Squares In Arithmetic Progression (англ.)

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Квадратное число" в других словарях:

КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО — (от лат. quadratum. квадрат). Произведете какого нибудь числа, помноженного само на себя. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНОЕ ЧИСЛО от лат. quadratum, квадрат. Произведение какого нибудь… … Словарь иностранных слов русского языка

Центрированное квадратное число — – это центрированное полигональное число, которое представляет квадрат с точкой в центре и все остальные окружающие точки находятся на квадратных слоях. Таким образом, каждое центрированное квадратное число равно числу точек внутри данного… … Википедия

Квадратное пирамидальное число — Геометическое представление квадратного пирамидального числа: 1 + 4 + 9 + 16 = 30. В математике пирамидальное чис … Википедия

Квадратное уравнение — Квадратное уравнение алгебраическое уравнение общего вида где свободная переменная, , , коэффициенты, причём Выражение называют квадратным трёхчленом. Корень такого ура … Википедия

100 (число) — 100 сто 97 · 98 · 99 · 100 · 101 · 102 · 103 70 · 80 · 90 · 100 · 110 · 120 · 130 200 · 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 Факторизация: 2×2×5×5 … Википедия

200 (число) — 200 двести 197 · 198 · 199 · 200 · 201 · 202 · 203 170 · 180 · 190 · 200 · 210 · 220 · 230 100 · 0 · 100 · 200 · 300 · 400 · 500 … Википедия

Треугольное число — Треугольное число это число кружков, которые могут быть расставлены в форме равностороннего треугольника, см. рисунок. Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n е треугольное число это сумма n первых натуральных чисел.… … Википедия

30 (число) — 30 тридцать 27 · 28 · 29 · 30 · 31 · 32 · 33 0 · 10 · 20 · 30 · 40 · 50 · 60 Факторизация: 2×3×5 Римская запись: XXX Двоичное: 1 1110 … Википедия

Квадрат (число) — Квадрат или квадратное число целое число, которое может быть записано в виде квадрата некоторого другого целого числа (иными словами, число, квадратный корень которого целый). Геометрически такое число может быть представлено в виде площади … Википедия

10 (число) — У этого термина существуют и другие значения, см. 10 (значения). 10 десять 7 · 8 · 9 · 10 · 11 · 12 · 13 20 · 10 · 0 · 10 · 20 · 30 · 40 Факторизация: 2×5 Римская запись: X Двоичное … Википедия

Квадра́тное число́ — число, являющееся квадратом некоторого целого числа. Поэтому квадратные числа именуются также полными квадратами и точными квадратами, хотя такие термины имеют более общее значение. Иными словами, квадратным является целое число, квадратный корень которого тоже целый. Геометрически такое число может быть представлено в виде площади квадрата с целочисленной стороной.

Например, 9 — это квадратное число, так как оно может быть записано в виде 3 × 3 (может быть представлено в виде квадрата 3 × 3 точки).

Содержание

Примеры [ править ]

Последовательность квадратов начинается так:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, 676, 729, 784, 841, 900, 961, 1024, 1089, 1156, 1225, 1296, 1369, 1444, 1521, 1600, 1681, 1764, 1849, 1936, 2025, 2116, 2209, 2304, 2401, 2500, … (последовательность A000290 в OEIS)

Представления и свойства [ править ]

Квадрат натурального числа можно представить в виде суммы первых нечётных чисел:

1:
2:
.
7:
.

Ещё один способ представления квадрата натурального числа:

Пример:

1:
2:
.
4:
.

Сумма квадратов первых натуральных чисел вычисляется по формуле:

Рассмотрим сумму кубов натуральных чисел от 1 до :

Получим:

Умножим на 2 и перегруппируем:

(В рассуждениях использована формула: , вывод которой аналогичен приведенному)

Способ 2, метод неизвестных коэффициентов:

Заметим, что сумма функций степени может быть выражена как функция степени. Исходя из этого факта предположим:


Получим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов:
Решив её, получим
Таким образом:

Четыре различных квадрата не могут образовывать арифметическую прогрессию. [1] Арифметические прогрессии из трёх квадратов существуют — например: 1, 25, 49.

Каждое натуральное число может быть представлено как сумма четырёх квадратов (теорема Лагранжа о сумме четырёх квадратов).

4900 — единственное число > 1, которое является одновременно квадратным и пирамидальным.

Суммы пар последовательных треугольных чисел являются квадратными числами.

В десятичной записи квадратные числа имеют следующие свойства: