Что такое расстояние от точки до прямой

Что такое расстояние от точки до прямой

Формула для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

Если задано уравнение прямой A x + B y + C = 0, то расстояние от точки M(M x , M y ) до прямой можно найти, используя следующую формулу

d = |A·M x + B·M y + C|
√ A 2 + B 2

Примеры задач на вычисление расстояния от точки до прямой на плоскости

Решение. Подставим в формулу коэффициенты прямой и координаты точки

d = |3·(-1) + 4·3 — 6| = |-3 + 12 — 6| = |3| = 0.6
√ 3 2 + 4 2 √ 9 + 16 5

Ответ: расстояние от точки до прямой равно 0.6.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Пусть нам даны прямая и точка А, не лежащая на данной прямой. Опустим из точки А к прямой перпендикуляр АН и соединим точку А с произвольной точкой М, лежащей на прямой А и отличной от Н.

Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к прямой . Треугольник АНМпрямоугольный, АНкатет, АМгипотенуза, значит, АН меньше АМ, т.к. в прямоугольном треугольнике катет всегда меньше гипотенузы.

Следовательно, перпендикуляр, проведенный из точки к прямой, меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой прямой.

Расстояние от точки до прямой — это длина перпендикуляра (т.е. наименьшее расстояние), проведенного из данной точки к данной прямой.

Для того, чтобы найти расстояние от точки до прямой, нужно с помощью чертежного угольника провести перпендикуляр из данной точки к данной прямой, а затем измерить длину этого перпендикуляра.

Расстояние от точки Е до прямой равно 6,5 см, расстояние от точки В до прямой равно 11,5 см.

Читайте также:  Самсунг 6000 телевизор 4к

Поделись с друзьями в социальных сетях:

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти расстояние от точки до прямой. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления расстояния от точки до прямой, задайте размерность (2-если рассматривается прямая на плоскости, 3- если рассматривается прямая в пространстве), введите координаты точки и элементы уравнения в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить".

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Расстояние от точки до прямой − теория, примеры и решения

Рассмотрим эту задачу в двухмерном и трехмерном пространствах.

1. Расстояние от точки до прямой на плоскости

Пусть в двухмерном пространстве задана точка M(x, y) и прямая L:

, (1)

где q=(m,p) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M до прямой (1)(Рис.1).

Алгоритм нахождения расстояния от точки M до прямой L содержит следующие шаги:

  • построить прямую L1, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение прямых L и L1(точка M1)
  • найти найти расстояние между точками M и M1.

Уравнение прямой, проходящей через точку M(x, y) имеет следующий вид:

A(xx)+B(yy)=0 (2)

Как видно из рисунка Рис.1, для того, чтобы прямая L1 была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n прямой L1, поэтому в качестве нормального вектора прямой L1 достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение прямой L1, представленной уравнением (2) можно записать так:

m(xx)+p(yy)=0 (3)
mx+pymxpy=0 (4)

Для нахождения точки пересечения прямых L и L1, которая и будет проекцией точки M на прямую L, можно решить систему из двух уравнений (1) и (3) с двумя неизвестными x и y. Выражая неизвестную x из одного уравнения и подставляя в другое уравнение получим координаты точки M1(x1, y1).

Читайте также:  Звуковая карта работает но звука нет

Найдем точку пересечения прямых L и L1 другим методом.

Выведем параметрическое уравнение прямой (1):

(5)

Подставим значения x и y в (4):

m(mt+x’)+p(pt+y’)−mxpy=0
m 2 t+mx’+p 2 t+py’mxpy=0
(6)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x и y точки на прямой L удовлетворяют уравнению прямой L1(4). Следовательно, подставляя значение t’ в (5) получим координаты проекции точки M на прямую L:

M1(x1, y1),

Далее находим расстояние между точками M и M1 используя формулу:

. (7)

Пример 1. Найти расстояние от точки M(−6, 2) до прямой

(8)

Направляющий вектор прямой (8) имеет вид:

Т.е. m=2, p=−1. Из уравнения прямой (8) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’)=(1, 7)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (8) получим тождество 0=0), т.е. x’=1, y’=7. Подставим значения m, p, x, y, x’, y’ в (6):

,

Подставляя значение t в (5), получим:

Вычислим расстояние между точками M(-6, 2) и M1

Упростим и решим:

Расстояние от точки M(-6, 2) до прямой (8) :

2. Расстояние от точки до прямой в пространстве

, (9)

где q=(m, p, l) направляющий вектор прямой L.

Найдем расстояние от точки M до прямой (9)(Рис.2).

Алгоритм нахождения расстояния от точки до прямой L содержит следующие шаги:

  • построить плоскость α, проходящую через точку M и перпендикулярную прямой L,
  • найти пересечение плоскости α и прямой L(точка M1)
  • найти расстояние между точками M и M1.
A(xx)+B(yy)+C(zz)=0 (10)

где n=(A,B,C) нормальный вектор плоскости α.

Как видно из рисунка Рис.2, для того, чтобы плоскость α была перпендикулярна прямой L нужно , чтобы направляющий вектор q прямой L была коллинеарна нормальному вектору n плоскости α, поэтому в качестве нормального вектора плоскости α достаточно взять направляющий вектор прямой L. Тогда уравнение плоскости α, представленной уравнением (10) можно записать так:

Читайте также:  Какой программой можно изменить фото
m(xx)+p(yy)+l(zz)=0
mx+py+lzmxpylz=0 (11)

Для нахождения точки пересечения плоскости α и прямой L, которая и будет проекцией точки M на прямую L, выведем параметрическое уравнение прямой (9):

(12)

Подставим значения x и y в (11):

m(mt+x’)+p(pt+y’)+l(lt+z’)−mxpylz=0
m 2 t+mx’+p 2 t+py’+l 2 t+ly’mxpylz=0
(13)

Мы нашли такое значение t=t’, при котором координаты x,y и z точки на прямой L удовлетворяют уравнению плоскости (11). Следовательно, подставляя значение t’ в (12) получим координаты проекции точки M на прямую L:

M1(x1, y1, , z1),

Далее вычисляем расстояние между точками M и M1 используя формулу

, (14)

которое является расстоянием между точкой M и прямой (9).

Пример 2. Найти расстояние от точки M(1, 2, 1) до прямой

(15)

Направляющий вектор прямой (15) имеет вид:

q=(2, 4, 6)

Т.е. m=2, p=4, l=−6. Из уравнения прямой (15) видно, что она проходит через точку M’ (x’, y’, z’)=(4, 3, 1)(в этом легко убедится − подставляя эти значения в (15) получим тождество 0=0=0), т.е. x’=4, y’=3, z’=1. Подставим значения m, p, l x, y, z x’, y’, z’ в (13):

Подставляя значение t=t’ в (12), получим координаты точки M1:

,
,
.

Далее, используя формулу (14) вычисляем расстояние от точки M до прямой (15):

.

Упростим и решим:

.

Расстояние от точки M(1, 2, 1) до прямой (15) :

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector