На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона.
Краткая теория
Рассмотрим некоторый поток событий, в котором события наступают независимо друг от друга и с некоторой фиксированной средней интенсивностью $lambda$ (событий в единицу времени). Тогда случайная величина $X$, равная числу событий $k$, произошедших за фиксированное время, имеет распределение Пуассона. Вероятности вычисляются по следующей формуле:
Для пуассоновской случайной величины математическое ожидание и дисперсия совпадают с интенсивностью потока событий:
$$M(X)=lambda, quad D(X)=lambda.$$
Распределение Пуассона играет важную роль в теории массового обслуживания. При увеличении $lambda$ данное распределение стремится к нормальному распределению $N(lambda, sqrt<lambda>)$. В свою очередь, оно само является "приближенной" моделью биномиального распределения при больших $n$ и крайне малых $p$ (см. теорию про формулу Пуассона).
Примеры решенных задач
Задача 1. Среднее число самолетов, взлетающих с полевого аэродрома за одни сутки, равно 10. Найти вероятность того, что за 6 часов взлетят:
А) три самолета,
Б) не менее двух самолетов.
Задача 2. На автовокзале время прибытия автобусов различных рейсов объявляет дежурный. Появление информации о различных рейсах происходит случайной и независимо друг от друга. В среднем на автовокзал прибывает 5 рейсов каждые полчаса.
А) Составьте ряд распределения числа сообщений о прибытии автобусов в течение получаса.
Б) Найдите числовые характеристики этого распределения.
В) Запишите функцию распределения вероятностей и постройте ее график.
Г) Чему равна вероятность того, что в течение получаса прибудут не менее трех автобусов?
Д) Чему равна вероятность того, что в течение четверти часа не прибудет ни один автобус?
Задача 3. АТС получает в среднем за час 480 вызовов. Определить вероятность того, что за данную минуту она получит: ровно 3 вызова; от 2 до 5 вызовов.
Задача 4. Случайная величина $X$ распределена по закону Пуассона с параметром $lambda=0,8$. Необходимо:
А) выписать формулу для вычисления вероятности $P(X=m)$;
Б) найти вероятность $P(1 le X lt 3)$;
В) найти математическое ожидание $M(2X+5)$ и дисперсию $D(5-2X)$.
Задача 5. Среднее число ошибочных соединений, приходящееся на одного телефонного абонента в единицу времени, равно 8. Какова вероятность того, что для данного абонента число ошибочных соединений будет больше 4?
Задача 6. В среднем в магазин заходят 3 человека в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты в магазин зайдет не более 1 человека.
Задача 7. Автомобиль проходит технический осмотр и обслуживание. Число неисправностей, обнаруженных во время техосмотра, распределяется по закону Пуассона с параметром 0,63. Если неисправностей не обнаружено, техническое обслуживание автомобиля продолжается в среднем 2 ч. Если обнаружены одна или две неисправности, то на устранение каждой из них тратится в среднем еще полчаса. Если обнаружено больше двух неисправностей, то автомобиль становится на профилактический ремонт, где он находится в среднем 4 ч.
Определите закон распределения среднего времени $T$ обслуживания и ремонта автомобиля и его математическое ожидание $M(T)$.
Задача 8. В тексте учебника по психологии содержатся опечатки: в среднем, одна на десять страниц. Пусть Х – число опечаток на одной странице. Определить закон распределения для Х. Найти вероятность, что на странице есть хотя бы одна опечатка.
Решебник по терверу
Если решения нужны срочно и почти даром? Ищите в решебнике по теории вероятностей:
Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. На сегодняшний день это полноценная наука, имеющая большое практическое значение.
История теории вероятности восходит к XVII веку, когда были предприняты первые попытки систематического исследования задач, относящихся к массовым случайным явлениям, и появился соответствующий математический аппарат. С тех пор, многие основы были разработаны и углублены до нынешних понятий, были открыты другие важные законы и закономерности. Множество ученых работало и работает над проблемами теории вероятностей.
Среди них нельзя не обратить внимание на труды Симеона Дени Пуассона ((1781–1840) – французский математик), доказавшего более общую, чем у Якова Бернулли, форму закона больших чисел, а также впервые применившего теорию вероятностей к задачам стрельбы. С именем Пуассона связан один из законов распределения, играющий большую роль в теории вероятностей и ее приложениях.
Число наступлений определённого случайного события за единицу времени, когда факт наступления этого события в данном эксперименте не зависят от того, сколько раз и в какие моменты времени оно осуществлялось в прошлом, и не влияет на будущее. А испытания производятся в стационарных условиях, то для описания распределения такой случайной величины обычно используют закон Пуассона (данное распределение впервые предложено и опубликовано этим учёным в 1837 г.).
Этот закон можно также описывать как предельный случай биноминального распределения, когда вероятность p осуществления интересующего нас события в единичном эксперименте очень мала, но число экспериментов m, производимых в единицу времени, достаточно велико, а именно такое, что в процессе p
Поэтому закон Пуассона часто называют также законом редких событий.
Распределение Пуассона в теории вероятностей
Функция и ряд распределения
Распределение Пуассона – это частный случай биномиального распределения (при n >> 0 и при p –> 0 (редкие события)).
Из математики известна формула, позволяющая примерно подсчитать значение любого члена биномиального распределения:
где a = n · p – параметр Пуассона (математическое ожидание), а дисперсия равна математическому ожиданию. Приведем математические выкладки, поясняющие этот переход. Биномиальный закон распределения
может быть написан, если положить p = a/n, в виде
Так как p очень мало, то следует принимать во внимание только числа m, малые по сравнению с n. Произведение
весьма близко к единице. Это же относится к величине
очень близка к e –a . Отсюда получаем формулу:
Материал из MachineLearning.
Функция вероятности |
|
Функция распределения |
|
| Параметры | |
| Носитель | |
| Функция вероятности | |
| Функция распределения | |
| Математическое ожидание | |
| Медиана | N/A |
| Мода | |
| Дисперсия | |
| Коэффициент асимметрии | |
| Коэффициент эксцесса | |
| Информационная энтропия | |
| Производящая функция моментов | |
| Характеристическая функция | |
Распределение Пуассона моделирует случайную величину, представляющую собой число событий, произошедших за фиксированное время, при условии, что данные события происходят с некоторой фиксированной средней интенсивностью и независимо друг от друга.
Распределение Пуассона играет ключевую роль в теории массового обслуживания.
Определение
Выберем фиксированное число 0" alt= "lambda > 0" /> и определим дискретное распределение, задаваемое следующей функцией вероятности:
- обозначает факториал,
- — основание натурального логарифма.
Тот факт, что случайная величина имеет распределение Пуассона с параметром записывается:
Моменты
Производящая функция моментов распределения Пуассона имеет вид:
Для факториальных моментов распределения справедлива общая формула:
А так как моменты и факториальные моменты линейным образом связаны, то часто для Пуассоновского распределения исследуются именно факториальные моменты, из которых при необходимости можно вывести и обычные моменты.
