Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры

Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры

На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же мы разберем примеры только для одного типа СВ — распределенных по показательному (или экспоненциальному) закону.

Плотность распределения величины $X$ с экспоненциальным законом распределения задается формулой:

Функция распределения величины $X$:

Здесь $lambda$ — единственный параметр данного распределения, полностью определяющий его свойства. В частности, числовые характеристики выражаются через этот параметр: $M(X)=1/lambda$, $D(X)=1/lambda^2$.

Экспоненциальное распределение моделирует время между двумя последовательными свершениями события, а параметр $lambda$ описываетс среднее число наступлений события в единицу времени. Обычно с помощью этого закона описывают: продолжительность обслуживания покупателя, время жизни оборудования до отказа, промежуток времени между поломками и т.п.

В этом разделе мы приведем разные примеры задач с полным решением, где используются показательно распределенные случайные величины.

Примеры решений

Задача 1. Среднее время безотказной работы прибора равно 80 часов. Полагая, что время безотказной работы прибора имеет показательный закон распределения, найти:
а) выражение его плотности вероятности и функции распределения;
б) вероятность того, что в течение 100 часов прибор не выйдет из строя.

Задача 2. Известно, что время работы прибора до первого отказа подчиняется показательному распределению со средним значением 1 год. Какова вероятность, что до первого отказа пройдет не менее 2 лет?

Задача 3. Установлено, что время ремонта телевизоров есть случайная величина $X$, распределенная по показательному закону с параметром $lambda=1/3$ (1/день). Определить вероятность того, что на ремонт телевизора потребуется не менее 5 дней.

Задача 4. Время в годах безотказной работы прибора подчинено показательному закону, т.е. плотность распределения этой случайной величины такова: $f(t)=2e^<-2t>$ при $tge 0$ и $f(t)=0$ при $tlt 0$.
1) Найти формулу функции распределения этой случайной величины.
2) Определить вероятность того, что прибор проработает не более года.
3) Определить вероятность того, что прибор безотказно проработает 3 года.
4) Определить среднее ожидаемое время безотказной работы прибора.

Задача 5. Предполагая, что случайное время обслуживания абонента службой «09» распределено по показательному закону и средняя продолжительность обслуживания составляет 1,5 минуты, найдите вероятность того, что абонент будет обслужен более, чем за 2 минуты.

Читайте также:  Ночная подсветка в туалете

Задача 6. Длительность телефонного разговора подчиняется показательному закону. Найти среднюю длительность разговора, если вероятность того, что разговор продлится более 5 минут, равна 0,4.

Задача 7. Случайная величина задана плотностью распределения $p(x)=ce^<-3x>$ при $x gt 0$, и ноль в остальных случаях. Найти постоянную $c$, математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.

Задача 8. Непрерывная случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром $lambda$, равному номеру варианта 9. Найти плотность распределения случайной величины $xi$, функцию распределения, построить графики этих функций. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины $xi$ и вероятность того, что $xi$ принимает значения, меньшие своего математического ожидания.

Задача 9. Случайная величина $xi$ распределена по показательному закону с параметром 2. Найти $M_<xi>$, $D_<xi>$ вероятность попадания $xi$ в интервал $(-1;2)$. Нарисовать графики плотности распределения и функции распределения $xi$.

Задача 10. Известно, что $Х$ распределено по экспоненциальному закону $Exp(lambda)$. Найдите вероятность события $|Х — МХ | lt 3sigma$ ("правило $3sigma$" для показательного распределения).

Решебник по теории вероятности онлайн

Больше 11000 решенных и оформленных задач по теории вероятности:

Пример 8.5. Проекция Х радиуса-вектора случайной точки окружности радиуса a на диаметр — имеет функцию распределения (закон арксинуса)

а) вероятность того, что Х окажется в пределах промежутка ();

в) плотность вероятности f(x) случайной величины X;

г) моду и медиану распределения.

а) Вероятность того, что Х окажется в пределах (), равна

.

б) По условию p = 0,75; решая уравнение

,

.

в) Плотность вероятности f(x) случайной величины Х равна:

1) для всех x, принадлежащих промежутку (- а, а),

,

2) нулю для всех остальных значений x.

г) Закон арксинуса моды не имеет, так как функция

не имеет максимума.

,

Пример 8.6. Плотность вероятности случайной величины равна

а) найти коэффициент а;

Читайте также:  Реклама вар тандер с бонусом

6) найти функцию распределения случайной величины X;

в) вычислить вероят­ность попадания случайной величины в интервал .

а) Коэффициент а определяем с помощью равенства

.

.

Двукратным интегрированием по частям получаем

.

Следовательно, и плотность вероятности имеет вид

.

б) Функция распределения F(x) случайной величины Х определяется по формуле

.

в) Вероятность попадания случайной величиныХ в заданный промежуток вычисляется по формуле

.

8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины

8.1. Построить ряд распределения и функцию распределения случайного числа попаданий мячом в корзину при одном броске, если вероятность попадания мячом в корзину при одном броске p=0,3.

8.2. Опыт состоит из трех независимых бросаний монеты, при каждом из которых герб выпадает с вероятностью p = 0,5. Для случайного числа появлений герба построить:

а) ряд распределения;

б) многоугольник распределения;

в) функцию распределения.

8.3. Производятся последовательные независимые испытания пяти приборов на надежность. Каждый следующий прибор испытывается только в том случае, если предыдущий оказался надежным. Построить ряд распределения случайно­го числа испытанных приборов, если вероятность выдержать испытания для каждого из них равна 0,9.

8.4. Два баскетболиста поочередно забрасывают мяч в корзину до тех пор, пока один из них не попадет. Построить ряд распределения случайного числа бросков, производимых каждым из баскетболистов, если вероятность попадания для первого, равна 0,4, а для второго 0,6.

8.5. Сигналы на включение приборов подаются через каждые 5 сек. Время от момента передачи сигнала до включения прибора 16 сек. Подача сигналов прекращается сразу же после того, как включится хотя бы один прибор. Найти ряд распределения для случайного числа поданных сигналов, если вероятность включения для каждого прибора равна .

8.6. Производятся испытания n изделий на надежность, причем вероятность выдержать испытания для каждого изделия равна р. Построить ряд распределения случайного числа изделий, выдержавших испытания.

8.7. Вероятность выпадения герба при каждом из пяти бросаний монеты равна 0,5. Составить ряд распределения отношения числа Х появлений герба к числу Y появлений решетки.

Читайте также:  Honor 8 е каталог

б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины

8.8. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины Х имеет вид

.

Найти плотность вероятности случайной величины X.

8.9. Дана функция распределения случайной величины (закон нормального распределения):

.

Найти плотность вероятности случайной величины X.

8.10. В книге Г. Крамера дана функция распределения годовых доходов лиц, облагаемых налогом:

.

Определить размер годового дохода, который для случайно выбранного налогоплательщика может быть превзойден с вероятностью 0,5.

8.11. Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры имеет вид (экспоненциальный закон распределения)

.

а) вероятность безотказной работы аппаратуры в течение времени Т;

8.12. Случайная величина эксцентриситета детали характеризуется функцией распределения Рэлея

.

б) медиану распределения;

в) моду распределения.

8.13. Функция распределения Вейбулла

в ряде случаев характеризует срок службы элементов электронной аппаратуры.

б) квантиль распределения порядка p;

в) моду распределения.

8.14. Дана функция распределения случайной величины X (закон Коши):

F(х) = с + barctg.

б) плотность вероятности;

в) Р().

8.15. Каково должно быть а, чтобы являлось плотностью вероятности случайной величины X, изменяющейся в бесконечных пределах?

8.16. При каком значении а функция

является плотностью вероятности случайной величины X? Найти:

а) функцию распределения случайной величины X;

б) вероятность попадания случайной величины, в интервал (- 1, 1).

8.17. Азимутальный лимб имеет цену деления 1°. Какова вероятность при считывании азимутального угла сделать ошибку в пределах ± 10′, если отсчет округляется до ближайшего целого числа градусов?

Решение.
а) Вероятность события "аппаратура откажет" находим по формуле

Заметим также, что

— называется "функция надежности".

Этот же результат можно получить непосредственно, пользуясь функцией надежности R(t), которая определяет вероятность безотказной работы элемента за время длительностью t.

Если задана функция распределения

безотказной работы аппаратуры (или элемента), то вероятность отказа можно вычислить с помощью калькулятора.
Для этого достаточно вставить в калькулятор λ — интенсивность отказов ( в нашем случае λ=1/3) и время t ( в нашем случае t=3)

Ссылка на основную публикацию
Функция плотности распределения пуассона
На этой странице мы собрали примеры решения учебных задач, где используется распределение Пуассона. Краткая теория Рассмотрим некоторый поток событий, в...
Фоллаут 76 официальный сайт на русском
Игра Fallout 76 Модификация силовой брони и оружия в честь 300-летия США Голова Волт-Боя Патриотический костюм американца Праздничное приветствие Волт-Боя...
Фольксваген тигуан 2 литра механика
Все минусы Фольксваген Тигуан 2018-2019 ➖ Качество отделочных материалов ➖ Расход топлива Плюсы ➕ Динамика ➕ Управляемость ➕ Удобный салон...
Функция распределения случайного времени безотказной работы радиоаппаратуры
На странице Непрерывная случайная величина мы разобрали примеры решений для произвольно заданных законов распределения (многочлены, логарифмы и т.п.). Здесь же...
Adblock detector