Как определить координаты вершин куба

Как определить координаты вершин куба

Решение задач С2 из методом координат.

Люди делятся по своим наклонностям на два

типа: одним больше нравятся выкладки, другим —

Прасолов В.В., Тихомиров В.М.

Из предисловия к книге «Геометрия»

Применение координатного метода в стереометрии чаще всего встречается в задачах на нахождение угла между двумя прямыми. Между тем возможности его намного шире. В отношении школьного курса геометрии можно сказать, что в некоторых случаях метод координат дает возможность строить доказательства и решать многие задачи более рационально, красиво, чем чисто геометрический способ. Этим методом легко решаются задачи на нахождение угла между прямой и плоскостью, угла между двумя плоскостями, расстояния от прямой до плоскости, расстояния между скрещивающимися прямыми.

Как показывает практика, этот метод доступен учащимся даже с недостаточно развитым пространственным воображением, что позволяет повысить уровень их подготовки к ЕГЭ.

Что же требуется, чтобы освоить пространственный метод координат?

Во – первых, знание определенных формул; во – вторых, умение вычислять координаты вершин многогранников и точек, расположенных на их ребрах и гранях.

Формулы и методы решения.

Угол между прямыми.

Вектор лежит на прямой а, вектор лежит на прямой b. Косинус угла между прямыми a и b определяется по формул

(1)

( 0, так как угол — острый ).

Угол между прямой и плоскостью.

Прямая Ɩ образует с плоскостью α угол ( 90˚). Вектор ( ) – направляющий вектор прямой Ɩ .

Плоскость α задана уравнением

и — вектор нормали. Синус угла определяется по формуле

. (2)

Угол между двумя плоскостями.

Плоскость α задана уравнением

и ее вектор нормали ; плоскость задана уравнением ее вектор нормали . Для угла

между плоскостями α и справедлива формула

(3)

( 0, так как угол — острый ).

Расстояние от точки до плоскости.

Расстояние h от точки до плоскости α, заданной уравнением определяется по формуле

. (4)

Расстояние между двумя точками.

Расстояние d между двумя точками, , равно

. (5)

Координаты вершин многогранников.

Определим координаты вершин некоторых многогранников.

1. Единичный куб А…D1 .

2. Правильная треугольная призма АВСA1B1C1, все ребра которой равны 1.

Читайте также:  Как в ворде сделать примечание сбоку текста

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось x; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось y; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( А1(0;0;1), В1(1;0;1),С1(

3. Правильная шестиугольная призма А…F1, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая АА1 – ось z. Тогда вершины призмы имеют координаты:А(0;0;0), В(1;0;0), С( D(1; , Е(0; , F( ; ), А1(0;0;1), В1(1;0;1), С1( D1(1; , Е1(0; , F1( ; ).

На выносном чертеже основания АD = BE = CF = 2R = 2; R – радиус окружности, описанной вокруг правильного шестиугольника; R = 1; АЕ =

4. Правильная треугольная пирамида (тетраэдр) ABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины тетраэдра имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( D( . Точка D проектируется в точку О – точку пересечения медиан треугольника АВС , которая делит медианы в отношении 2:1, считая от вершин треугольника. Высота тетраэдра DO выражается из прямоугольного треугольника АОD: DA = 1, AO = DO =

5. Правильная четырехугольная пирамида SABCD, все ребра которой равны 1.

Начало координат – в точке А; прямая АВ – ось х; прямая АD – ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С(1;1;0), D(0;1;0), S( Точка S проектируется на плоскость АВС в точку пересечения диагоналей квадрата АВСD – точку О. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS: SO = , SA = 1, AO =

SO =

6. Правильная шестиугольная пирамида SABCDEF, стороны которой равны 1, а боковые ребра равны 2.

Начало координат в точке А; прямая АВ – ось х; прямая, проходящая через точку А в плоскости АВС перпендикулярно прямой АВ, — ось у; прямая, проходящая через точку А перпендикулярно плоскости АВС, — ось z. Тогда вершины пирамиды имеют координаты: А(0;0;0), В(1;0;0), С( D(1; 0), Е(0; ; 0), F( ; Точка S проектируется на плоскость АВС в точку О – точку пересечения диагоналей шестиугольника АВСDEF. Высота пирамиды SO выражается из прямоугольного треугольника АОS:

Читайте также:  Жесткий диск перезапускается во время работы

SO = , SA = 2, AO = 1, SO = .

Примеры решения задач.

Угол между прямыми.

Введем прямоугольную систему координат, как указано на рисунке. Найдем координаты точки Е(1;1; ) и координаты направляющих векторов прямых A1D и D1E: , = .

Косинус угла между прямыми А1D и D1E определяется по формуле (1):

= ,

Ответ:

В настоящее время я пытаюсь сделать калькулятор ориентации в java, и у меня небольшие проблемы с вращением различных объектов.

Пусть говорят, что у нас есть куб с начальной позицией, и каждая из его вершин известна (а также ее центр). Затем куб поворачивается из исходного положения по оси Y с угловыми радианами (или градусами, это не имеет значения) и по оси X с угловыми радианами. Чтобы это было просто, я оставил бы ось Z в одиночку, а также, куб имел свой центр в начале графика.

Учитывая координаты всех вершин, известных и отмеченных с v1 по v8, а также anglex и angley, известны, может кто-нибудь, пожалуйста, скажите мне выражение для каждой вершины куба?

Пожалуйста, не говорите мне о вспомогательных методах, которые могут быть или не быть найдены в Java. Просто скажите мне сырое выражение для каждой точки (вы можете интегрировать их в цикл for, если это сэкономит место).

Если вам действительно нужен пример начальных условий, рассмотрим следующий куб:

java geometry 3d cube vertex

2 ответа

0 Решение Luka Rahne [2012-06-29 01:58:00]

Вращайте одну точку с помощью матрицы вращения.

поэтому он в конечном итоге использует матричные умножения.

Где V — вектор в декартовых координатах, R — матрица вращения, а v — новая точка. Вы должны применить это умножение для каждой точки.

В общем, это зависит от порядка вращения. Вращения вообще не коммутируют, т.е. Имеет значение, если вы сначала вращаетесь вокруг оси а, а затем оси или наоборот. Каждое вращение может быть выражено в матричной форме как линейная функция ваших вершин. Окончательная матрица, сопоставляющая исходные координаты с повернутыми координатами, является произведением отдельных вращений. Таким образом, вы можете вычислить отдельные матрицы вращения (только "ротационную матрицу" Google), вычислить их продукт, а затем вычислить произведение этой матрицы с каждой вершиной, предоставив конечные вершины. В общем, т.е. Часто в компьютерной графике и т.д., Чтобы избежать путаницы, возникающей из-за зависимости зависимости от поворота, для использования вращения используются кватернионы, но это становится более привлекательным. Надеюсь, что это поможет и даст вам правильные направления для поиска 🙂

Читайте также:  Как понять что тебя заблокировали в одноклассниках

Представьте, перед вам нарисованный куб с осями координат, направленным по трем ребрам, выходящим из одной вершины. За единицу масштаба берем ребро куба и обозначим вершины буквами $%A$%, $%B$%, $%C$%, $%D$%, $%A_1$%, $%B_1$%, $%C_1$% и $%D_1$%. Нужно:

  1. Найти координаты всех вершин куба.
  2. Найти координаты середины ребра $%CC_1$%.
  3. Найти, чему равно расстояние от вершины $%(0;0;0)$% куба до точки пересечения диагоналей грани $%BB_1C_1C$%.

задан 15 Мар ’15 11:56

melwentay
240 ● 6 ● 48
95&#037 принятых

Здесь не сказано, какая из вершин принята за начало координат а также не указан порядок выбора осей, что создаёт неоднозначность в ответах на некоторые из пунктов. Координаты вершин всегда имеют вид 000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111 (пишу для простоты без скобок и промежуточных запятых). Для всего остального требуются уточнения, хотя там всё в принципе просто.

@falcao, начало координат-точка А. Оси x,y,z соответствуют ребрам AB, AD, AA1

Тогда все координаты непосредственно видны из рисунка: B(1;0;0), D(0;1;0), C(1;1;0), C1(1;1;1). Середина ребра соответствует полусумме координат: (1;1;1/2). В пункте 3 берётся середина грани, координаты (1;1/2;1/2). Расстояние до нуля — корень из суммы квадратов, то есть $%sqrt<3/2>=sqrt6/2$%.

Ссылка на основную публикацию
Как оживить маркер на спиртовой основе
Обычный строительный (разметочный) маркер высох, как и чем его заправить. На упаковке маркеров (фломастеров) в начале прочитайте информацию о том...
Как использовать шкалу в mortal kombat x
Игровая механика Mortal Kombat X более глубока по сравнению с прошлыми частями родом из 90-х. Комбо, суперудары, атаки X-Ray. Сходу...
Как на роутере мегафон прочитать смс
В этом обзоре мы рассмотрим роутер Мегафон – приведем характеристики выбранной модели, сделаем небольшой обзор доступных моделей и расскажем о...
Как оглушить врагов в метро 2033
Как знают поклонники шутеров серии Metro от украинской студии 4A Games, Metro 2033 и Metro: Last Light, решения игрока в...
Adblock detector