Логарифмическая спираль как построить

Логарифмическая спираль как построить

Исторические сведения

Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом (1638 г., опубликовано в 1657 г). Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным свойству окружности, так чтобы касательная в каждой точке образовывала с радиус-вектором в каждой точке один и тот же угол. Отсюда и название равноугольная. Он показал, что это условие равносильно тому, что полярные углы для точек кривой пропорциональны логарифмам радиус-векторов. Отсюда и второе название: логарифмическая спираль. Независимо от Декарта она была открыта Э. Торричелли в 1644 г. Свойства логарифмической спирали исследовал Я. Бернулли (1692 г.). Её название предложено П. Вариньоном (1704 г.).

Определение логарифмической спирали

Логарифмическая спираль — кривая, которая пересекает все лучи, выходящие из одной точки О, под одним и тем же углом.

Уравнение кривой в полярных координатах:

Расстояние между витками растет с увеличением угла.

Построение логарифмической спирали

гиперболический спираль архимед логарифмический

Логарифмическую спираль можно построить с помощью так называемого «золотого прямоугольника», т.е. такого, у которого отношение сторон равно золотому сечению:

Если от золотого прямоугольника отрезать квадрат со стороной, равной меньшей стороне прямоугольника, то снова получим золотой прямоугольник, но меньших размеров. Если продолжить этот процесс далее, а затем соединить плавной кривой вершины квадратов, то получим логарифмическую спираль. Точки, делящие стороны прямоугольников в среднем и крайнем отношении, лежат на логарифмической спирали, закручивающейся внутрь.

I. Найдем длину дуги логарифмической спирали

0? ? 2, используя формулу:

II. Вычислим площадь фигуры, ограниченной первым витком логарифмической спирали, используя формулу:

Основные свойства логарифмической спирали

1. Угол, составляемый касательной в произвольной точке логарифмической спирали с радиус-вектором точки касания, постоянный и зависит лишь от параметра .

2.Параметр m определяет, насколько плотно и в каком направлении закручивается спираль. В предельном случае, когда =0 спираль вырождается в окружность радиуса . Наоборот, когда стремится к бесконечности ( спираль стремится к прямой линии. Угол, дополняющий до 90°, называется наклоном спирали.

3. Размер витков логарифмической спирали постепенно увеличивается, но их форма остаётся неизменной.

4. Если угол возрастает или убывает в арифметической прогрессии, то возрастает (убывает) в геометрической.

5. Поворачивая полярную ось вокруг полюса, можно добиться полного уничтожения параметра a и привести уравнение к виду r=, где — новый параметр.

Читайте также:  Гимн авторадио установить вместо гудков на билайн

6. Радиус кривизны в каждой точке спирали пропорционален длине дуги спирали от ее начала до этой точки.

Логарифмическая спираль в природе

Логарифмическая спираль — единственный тип спирали, не меняющей своей формы при увеличении размеров. Это свойство объясняет, почему логарифмическая спираль так часто встречается в природе.

Царство животных предоставляет нам примеры спиралей раковин, улиток и моллюсков.

Все эти формы указывают на природное явление: процесс накручивания связан с процессом роста. В самом деле, раковина улитки — это не больше, не меньше, чем конус, накрученный на себя. Если мы внимательно посмотрим на рост раковин и рогов, то заметим еще одно любопытное свойство: рост происходит только на одном конце. И это свойство сохраняет форму полностью уникальную среди кривых в математике, форму логарифмической, или равноугольной спирали.

Галактики, штормы и ураганы дают впечатляющие примеры логарифмических спиралей.

И наконец, в любом месте, где есть природное явление, в котором сочетаются расширение или сжатие с вращением появляется логарифмическая спираль.

В растительном мире примеры еще более бросаются в глаза, потому что у растения может быть бесконечное число спиралей, а не только одна спираль у каждого.

Расположение семечек в любом подсолнечнике, чешуек в любом ананасе и другие разнообразные виды растений, простые ромашки… дают нам настоящий парад переплетающихся спиралей.

Паук плетет паутину спиралеобразно.

Логарифмическая спираль в технике

Применения логарифмической спирали в технике основаны на свойстве этой кривой пересекать все свои радиус-векторы под одним и тем же углом.

Так, вращающиеся ножи в различных режущих машинах имеют профиль, очерченный по дуге спирали, благодаря чему угол резания (угол между лезвием ножа и направлением его скорости вращения) остается постоянным вдоль всей кромки подвижного ножа, что обеспечивает меньший его износ.

Сегодня мы рассмотрим ещё одну геометрическую фигуру – логарифмическую спираль, которая немного напоминает уже пройденные эвольвенту и архимедову спираль, но все же у нее свои особенности, которые мы сейчас и рассмотрим. По ней даже курсовую работу можно сделать.

Для начала изучим определение. Пусть (смотрите на рисунке) прямая UV равномерно вращается около неподвижной т.О (полюс), а т. в свою очередь М движется вдоль UV, отодвигаясь от О со скоростью, которая пропорциональна расстоянию ОМ. Линия, которая описывается точкой М, называется логарифмической спиралью.

Теперь перейдем к основным геометрическим свойствам. Повороту данной прямой UV из любого ее положения на заданный угол ω (= ∠ MOM1) соответствует одно и то же отношение ОМ1: ОМ указанных полярных радиусов. Говоря по другому: если пара точек M, M1 логарифмической спирали видна из ее полюса под тем же углом, что и данная другая пара точек N, N1 той же самой спирали, то треугольники OMM1 и ONN1 подобны.

Читайте также:  Файловых операций в секунду битрикс

Отношение q конечного полярного радиуса (ОА1) к ее начальному (ОА) если повернуть UV на угол +2π называют коэффициентом роста логарифмической спирали.

Еще также различают правую и левую спирали. Если при удалении точки М от полюса О пряма UV вращается против часовой стрелки, тогда называется правой; а если против — левой. Также известны коэффициенты роста для правой q > 1; для левой q

канд. пед. наук, доц., Кубанский государственный университет,

PLANE CURVES ABILITIES RESEARCH IN DYNAMIC GEOMETRY ENVIRONMENT GEOGEBRA

Natalia Andraphanova

candidate of Pedagogics, Associate Professor, Kuban State University,

АННОТАЦИЯ

В статье представлены возможности системы динамической геометрии (СДГ) GeoGebra при проведении эмпирических исследований свойств плоских кривых на примере кривых-спиралей. Приведена классификация кривых-спиралей, заданных уравнениями в полярных координатах, задания исследовательской работы для построения и изучения свойств логарифмической спирали средствами СДГ GeoGebra.

ABSTRACT

In the article are presented capabilities of dynamic geometry environment (SDG) GeoGebra while empirical research of plane curves abilities on the example of curve-spirals. There it is introduced the classification of curve spirals which are given by the equations in polar coordinates, tasks of research work while construction and studying logarithmic spiral abilities by SDG means.

Ключевые слова: система динамической геометрии, GeoGebra, графика, моделирование, исследовательская деятельность школьников.

Keywords: dynamic geometry environment, GeoGebra, graphics, simulation, pupils’ research activity.

Кривые с древних времен привлекали к себе внимание ученых. Они использовались ими для описания различных природных явлений. В школьном курсе математики кривые представлены весьма скромно: в качестве кривых рассматриваются графики функций (парабола, гипербола). Между тем плоские кривые и их свойства представляют интересный учебный материал для исследовательской деятельности школьников, расширяют геометрические представления и знания об окружающем нас мире, способствуют формированию исследовательских умений.

Читайте также:  Как подключить услугу всегда в плюсе билайн

Поскольку в школьном курсе математике плоские кривые рассматриваются в ограниченном количестве, то огромный интересный и познавательный материал о них может быть предложен в рамках элективного курса или кружковой работы.

Для построения кривых и открытия их свойств можно использовать систему динамической геометрии (СДГ) GeoGebra. Дидактические возможности СДГ позволяют строить эти замечательные кривые, изменяя параметры кривой, моделировать различные формы и исследовать их свойства [1, с. 57]. СДГ как компьютерный инструментарий моделирования является эффективным средством формирования исследовательских умений и навыков школьников, позволяя получать и анализировать информацию о свойствах исследуемого объекта [2, с. 22].

Одним из представителей плоских кривых являются кривые-спирали. Они занимают особое место среди кривых, так как очень распространены в природе: спиральные туманности, галактики, водовороты, смерчи, торнадо, устройство растений. Гёте рассматривал спирали, присутствующие в конфигурациях растений и животных, как символ жизни, знак развития, жизненной силы, данной нам природой.

Спираль (франц. spirale, лат. spira – виток) – это кривая, которая огибает некоторую центральную точку или ось, постепенно приближаясь или удаляясь от неё, в зависимости от направления обхода кривой. Виды спиралей приведены на рис. 1 [3, с. 38].

Рисунок 1 Виды спиралей, заданных уравнениями в полярных координатах

Алгебраические спирали − линии, полярные уравнения f(ρ, φ)=0 которых являются алгебраическими относительно ρ и φ. Алгебраические спирали определяются значением параметра a − коэффициента пропорциональности.

Линии, натуральные уравнения которых заданы в виде R=aS m (уравнение выражает кривизну плоской кривой как функцию длины дуги), где R – радиус кривизны кривой, S – длина дуги, называются псевдоспиралями. Среди известных кривых, которые можно задать уравнением в полярных координатах, логарифмическая спираль (m=1).

Синусоидальные спирали − семейство плоских кривых, выражаемых в полярной системе уравнением или .

Кривые, относящиеся к семейству синусоидальных спиралей, в действительности различные по своей природе. При рациональном значении m эти кривые являются алгебраическими линиями того или иного порядка, в зависимости от значения m.

Таблица 1.

Примеры синусоидальных спиралей

Значение m

Ссылка на основную публикацию
Корвет 100у 068с инструкция по эксплуатации
Изготовитель: Кировский завод «Ладога», 1990. Назначение: усилитель «Корвет 100У-068с» высшей группы сложности предназначен для двухканального усиления и коммутации сигналов низкой...
Квадратный корень в кумире
(x, y — целые ) mod(x,y) (x, y — целые) div(x,y) Составить простейший алгоритм на вычисление среднего арифметического 3 чисел....
Кнопка setup на пульте билайн где находится
Подробная инструкция по настройке универсальных пультов Билайн без кнопки Setup. Эта статья написана специально для пользователей универсальных пультов без кнопки...
Крупнейшие речные порты мира
Слово "Порт" происходит от латинского portus, что в переводе означает гавань или пристань. Морской порт (или речной)— это удобное место...
Adblock detector