Метод обратной матрицы в excel

Метод обратной матрицы в excel

1. Метод обратной матрицы (решение в Excel)

Если дано уравнение:
A*X = B, где A — квадратная матрица, X,B — вектора;
причем B — известный вектор (т е столбец чисел), X — неизвестный вектор,
то решение X можно записать в виде:
X = A -1 *B, где A -1 — обратная от А матрица.
В MS Excel обратная матрица вычисляется функцией МОБР(), а перемножаются матрицы (или матрица на вектор) — функцией МУМНОЖ().

Имеются "тонкости" использования этих матричных действий в Excel. Так, чтобы вычислить обратную матрицу от матрицы А, нужно: Чтобы умножить матрицу на вектор: Есть и другой спососб, при котором используется кнопка построителя функции Excel.

Пример СЛАУ 4-го порядка

Скачать документ Excel, в котором этот пример решён различными методами.

2. Метод Гаусса

Краткое описание.

  1. Решаю систему уравнений: A*X=B, где A — квадратная матрица n-го порядка, X,B — вектора
  2. К матрице A справа приписываю вектор B. Получаю расширенную матрицу A
  3. В дальнейшем A обозначает расширенную матрицу (n строк, n+1 столбец)
  4. Aij — обозначает элемент матрицы, находящийся на i-й строке и j-м столбце
  5. Делю 1-ю строку на A11, т е A’1j = A1j/A11 (j = 1..n+1). В результате A’11 = 1. A’ обозначает преобразованную строку
  6. Преобразую остальные строки по формуле: A’ij = Aij — A’1j*Ai1 (i = 2..n; j = 1..n+1)
  7. В результате 1-й столбец в строках 2..n заполнится нулями
  8. Отметим, что все эти преобразования не нарушают правильность уравнений
  9. Аналогичные действия проводим для обнуления 2-го столбца в строках 3..n, то есть:
  10. Делю 2-ю строку на A’22, т е A»2j = A’2j/A’22 (j = 2..n+1). В результате A»22 = 1. A» обозначает резельтат 2-го преобразования строки
  11. Преобразую остальные строки по формуле: A»ij = A’ij — A»2j*A’i2 (i = 3..n; j = 2..n+1)
  12. В результате 2-й столбец в строках 3..n заполнится нулями
  13. Аналогичные действия проводим далее
  14. В результате левые n столбцов матрицы A превращаютс в верхнюю треугольную матрицу, т е ниже главной диагонали находятся только нули (а на главной диагонали — единицы) — см Рис 1. На этом рисунке вектор B — слева, S — номер шага
  15. Затем выполняется "обратный ход", начиная с нижней строки, из которой можно вычислить Xn = Bn/Ann, например: Х4 = 9,55741/68,6388 = 0,13924 (рис. 1)
  16. Затем можно вычислить X3 = (0,9065 — 2,40919*0,13924) = 0,57059
  17. Затем из второй строки: X2 + 2,83562*X3 + 8,17808*X4 = 2,47945 вычисляю X2, и т д

3. Метод Якоби (метод простых итераций)

Для применения метода Якоби (и метода Зейделя) необходимо, чтобы диагональные компоненты матрицы А были больше суммы остальных компонент той же строки. Заданная система не обладает таким свойством, поэтому выполняю предварительные преобразования.

Далее номер в скобках означает номер строки. Новую первую строку получаю сложением старой первой строки с другими строками, умноженными на специально подобранные коэффициенты. Записываю это в виде формулы:

Читайте также:  Ошибка защиты нарушение 2 гарант аэро


Для применения метода Якоби систему уравнений нужно преобразовать к виду:
X = B2 + A2*X Преобразую:

Далее делю каждую строку на множитель левого столбца, то есть на 16, 7, 3, 70 соответственно. Тогда матрица А2 имеет вид :

А вектор В2:


Скачать

Приложение Excel выполняет целый ряд вычислений, связанных с матричными данными. Программа обрабатывает их, как диапазон ячеек, применяя к ним формулы массива. Одно из таких действий – это нахождение обратной матрицы. Давайте выясним, что представляет собой алгоритм данной процедуры.

Выполнение расчетов

Вычисление обратной матрицы в Excel возможно только в том случае, если первичная матрица является квадратной, то есть количество строк и столбцов в ней совпадает. Кроме того, её определитель не должен быть равен нулю. Для вычисления применяется функция массива МОБР. Давайте на простейшем примере рассмотрим подобное вычисление.

Расчет определителя

Прежде всего, вычислим определитель, чтобы понять, имеет первичный диапазон обратную матрицу или нет. Это значение рассчитывается при помощи функции МОПРЕД.

  1. Выделяем любую пустую ячейку на листе, куда будут выводиться результаты вычислений. Жмем на кнопку «Вставить функцию», размещенную около строки формул.

Запускается Мастер функций. В перечне записей, который он представляет, ищем «МОПРЕД», выделяем этот элемент и жмем на кнопку «OK».

Открывается окно аргументов. Ставим курсор в поле «Массив». Выделяем весь диапазон ячеек, в котором расположена матрица. После того, как его адрес появился в поле, жмем на кнопку «OK».

Расчет обратной матрицы

Теперь можно преступить к непосредственному расчету обратной матрицы.

    Выделяем ячейку, которая должна стать верхней левой ячейкой обратной матрицы. Переходим в Мастер функций, кликнув по значку слева от строки формул.

В открывшемся списке выбираем функцию МОБР. Жмем на кнопку «OK».

Как видим, появилось значение только в одной ячейке, в которой была формула. Но нам нужна полноценная обратная функция, поэтому следует скопировать формулу в другие ячейки. Выделяем диапазон, равнозначный по горизонтали и вертикали исходному массиву данных. Жмем на функциональную клавишу F2, а затем набираем комбинацию Ctrl+Shift+Enter. Именно последняя комбинация предназначена для обработки массивов.

  • Как видим, после этих действий обратная матрица вычислена в выделенных ячейках.
  • На этом расчет можно считать завершенным.

    Если вы производите расчет определителя и обратной матрицы только при помощи ручки и бумаги, то над этим вычислением, в случае работы над сложным примером, можно ломать голову очень долго. Но, как видим, в программе Эксель данные вычисления производятся очень быстро, независимо от сложности поставленной задачи. Для человека, который знаком с алгоритмом подобных расчетов в этом приложении, все вычисление сводится к чисто механическим действиям.

    Читайте также:  Что значит мой краш

    Отблагодарите автора, поделитесь статьей в социальных сетях.

    В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

    Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

    Решение уравнений методом подбора параметров Excel

    Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

    Путь к команде: «Данные» — «Работа с данными» — «Анализ «что-если»» — «Подбор параметра».

    Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

    1. Введем в ячейку В2 формулу для нахождения значения функции. В качестве аргумента применим ссылку на ячейку В1.
    2. Открываем меню инструмента «Подбор параметра». В графе «Установить в ячейку» — ссылка на ячейку В2, где находится формула. В поле «Значение» вводим 0. Это то значение, которое нужно получить. В графе «Изменяя значение ячейки» — В1. Здесь должен отобразиться отобранный параметр.
    3. После нажатия ОК отобразится результат подбора. Если нужно его сохранить, вновь нажимаем ОК. В противном случае – «Отмена».

    Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

    Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

    Дана система уравнений:

    1. Значения элементов введем в ячейки Excel в виде таблицы.
    2. Найдем обратную матрицу. Выделим диапазон, куда впоследствии будут помещены элементы матрицы (ориентируемся на количество строк и столбцов в исходной матрице). Открываем список функций (fx). В категории «Математические» находим МОБР. Аргумент – массив ячеек с элементами исходной матрицы.
    3. Нажимаем ОК – в левом верхнем углу диапазона появляется значение. Последовательно жмем кнопку F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter.
    4. Умножим обратную матрицу Ах -1х на матрицу В (именно в таком порядке следования множителей!). Выделяем диапазон, где впоследствии появятся элементы результирующей матрицы (ориентируемся на число строк и столбцов матрицы В). Открываем диалоговое окно математической функции МУМНОЖ. Первый диапазон – обратная матрица. Второй – матрица В.
    5. Закрываем окно с аргументами функции нажатием кнопки ОК. Последовательно нажимаем кнопку F2 и комбинацию Ctrl + Shift + Enter.

    Получены корни уравнений.

    Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

    Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

    Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

    Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

    Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

    Читайте также:  Red dead redemption 2 заяц

    Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (Dx / |A|).

    Для расчета Х1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

    Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

    Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

    3а + 2в – 5с = -1
    2а – в – 3с = 13
    а + 2в – с = 9

    Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

    Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

    1. Приведем все коэффициенты при а к 0. Кроме первого уравнения. Скопируем значения в первой строке двух матриц в ячейки В6:Е6. В ячейку В7 введем формулу: =B3:Е3-$B$2:$Е$2*(B3/$B$2). Выделим диапазон В7:Е7. Нажмем F2 и сочетание клавиш Ctrl + Shift + Enter. Мы отняли от второй строки первую, умноженную на отношение первых элементов второго и первого уравнения.
    2. Копируем введенную формулу на 8 и 9 строки. Так мы избавились от коэффициентов перед а. Сохранили только первое уравнение.
    3. Приведем к 0 коэффициенты перед в в третьем и четвертом уравнении. Копируем строки 6 и 7 (только значения). Переносим их ниже, в строки 10 и 11. Эти данные должны остаться неизменными. В ячейку В12 вводим формулу массива.
    4. Прямую прогонку по методу Гаусса сделали. В обратном порядке начнем прогонять с последней строки полученной матрицы. Все элементы данной строки нужно разделить на коэффициент при с. Введем в строку формулу массива: <=B12:E12/D12>.
    5. В строке 15: отнимем от второй строки третью, умноженную на коэффициент при с второй строки (<=(B11:E11-B16:E16*D11)/C11>). В строке 14: от первой строки отнимаем вторую и третью, умноженные на соответствующие коэффициенты (<=(B10:E10-B15:E15*C10-B16:E16*D10)/B10>). В последнем столбце новой матрицы получаем корни уравнения.

    Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

    Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

    Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

    M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

    f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

    Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

    В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

    В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

    Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

    Ссылка на основную публикацию
    Материнская плата am4 b350
    Цена для Физ. Лиц: Доставка: Москва и МО от 390 Стоимость для Юр. лиц уточняйте. Основные свойства Форм-фактор: ATX Процессор...
    Логин и пароль для таобао
    Последнее время оригинальный сайт Taobao.com отказывается пускать посетителей на свои страницы с товаром, вместо этого предлагая пройти авторизацию, то есть...
    Логические операторы в java
    Операторы в языке Java — это специальные символы, которые сообщают транслятору о том, что вы хотите выполнить операцию с некоторыми...
    Материнская плата asrock a770de
    Средняя цена по России, руб: 3 780 Общие характеристики Производитель Фирма, которая произвела данную материнскую плату. ASRock Форм-фактор Форм-фактор –...
    Adblock detector