Модель гонки вооружений ферхюльста

Модель гонки вооружений ферхюльста

Модель гонки вооружений Ричардсона

Рассмотрим ситуацию, в которой могут оказаться две враждующие страны. Страна 1 вооружается, опасаясь войны со страной 2. В свою очередь страна 2, видя рост затрат на вооружение у потенциального противника, также ускоряет свое вооружение. Пусть скорость роста затрат на вооружение каждой из стран пропорциональна уровню затрат противника – чем больше противник тратит на вооружение, тем быстрее страна сама пытается вооружиться. Пусть x(t) расходы на вооружение страны 1 к моменту времени t, y(t) то же для страны 2. Тогда простейшая математическая модель имеет вид

где а > 0, b > 0 – константы. Рост затрат на вооружение ничем не ограничен, поэтому модель нужно улучшить с учетом естественного предположения: чем больше уровень затрат на вооружения, тем меньше скорость его роста. Кроме того, полезно учесть, что государство может наращивать вооружение исходя из державных амбиций, даже без угрозы нападения со стороны других стран. Пусть для стран 1 и 2 коэффициенты претензии равны соответственно пн (при отрицательных значениях они приобретут "миротворческий" смысл). Получим следующую систему уравнений:

Поведение модели Ричардсона зависит от приведенных шести констант. Различаются четыре случая.

  • 1. тпab > 0, r > 0, s > 0 – существует точка равновесия.
  • 2. тпab 0, s > 0 – эскалация гонки вооружений носит неограниченный характер.
  • 3. тпаb > 0, r

Как установлено политологами, модель Ричардсона вполне применима для анализа большинства серьезных международных конфликтов XIX– XX вв. Сам Ричардсон для проверки своей модели использовал сведения о расходах па вооружение России, Франции, Германии и Австро-Венгрии в 1909–1913 гг. – перед Первой мировой войной [1] .

Будем понимать под политической мобилизацией вовлечение людей в партию, движение или в ряды сторонников. Пусть Мп – доля мобилизованного населения в момент времени tn = п, определяемая как отношение численности мобилизованного населения к численности населения, для которого мобилизация может иметь смысл. Соответственно 0 ≤ Мп 1, а доля немобилизованного населения составляет 1 – Мп. Уровень мобилизации за единицу времени может измениться по следующим причинам.

1. Часть населения удалось привлечь дополнительно. Чем больше доля еще несагитированного населения на момент tn, тем больше эта часть населения, ее можно считать равной

где а > 0 – коэффициент агитируемости. Чем невосприимчивее население к агитации, тем ближе а к нулю.

2. Часть населения убыла. Чем выше была доля сагитированного населения, тем больше потери сторонников, связанные с выбытием. Эти потери принимаем равными

где b > 0 – коэффициент выбытия. При значениях b, близких к нулю, убыль населения очень низка.

Получаем, что изменение уровня мобилизации за единицу времени равно разности между долей дополнительно привлеченного населения и долей выбывшего сагитированного населения:

Данное уравнение является уравнением процесса мобилизации [2] . Решая это уравнение, получаем, что

где М0 – начальный уровень мобилизации. В зависимости от значения γ получаем несколько вариантов динамики уровня мобилизации. Они приведены на рис. 10.6. Здесь ситуация I – для 0 [3] :

Это уже известное нам уравнение логистического роста. Решением этого уравнения является логистическая кривая, вид которой примерно такой как у приведенной на рис. 10.3. (О ней уже говорилось в параграфе 10.4.) В данном случае уравнение кривой следующее:

Если необходимо оценить численность населения отдельного региона, а не всей планеты, то можно дополнить модель учетом миграционных процессов. Пусть т – скорость миграции. Знак выберем так, что при т 0 – отток. При учете миграции, но без учета ресурсных ограничений получим уравнение [4] :

Читайте также:  Почему вылетает варфейс при запуске спецоперации

Решение этого уравнения следующее:

Динамика численности населения оказывается существенно зависящей от двух факторов:

  • 1) куда направлена "суммарная" миграция – из региона или в регион;
  • 2) какая из скоростей больше – удельная скорость роста населения или же скорость миграции.

Даже небольшие показатели миграции населения могут в долгосрочной перспективе сильно сказаться на численности населения. Так, на рис. 10.7 приведен пример при х0 = 10, k = 1. Легко заметить, что при t = 8 численность населения при т = 0 почти вдвое превысит численность населения при т = 4.

Разумеется, можно попытаться еще больше усовершенствовать модель, учитывая, что темпы миграции могут меняться со временем. Часто миграция обусловлена экономическими причинами (это хорошо видно на примере миграции в Россию выходцев из постсоветских стран). Если мы будем учитывать экономические циклы, то, вероятно, получим тригонометрические функции – функции вида:

или какие-то комбинации сумм синусов и косинусов.

Возможно объединить модели, учитывающие ограниченность ресурсов и миграцию, в одну модель и получить уравнение вида

где k "отвечает" за скорость роста населения, b – за ресурсные ограничения, т – за темпы миграции.

Примеры факторов, влияющих на коэффициенты: k – демографическая политика, отношение населения к ценностям семьи и половой жизни, h – объемы экономики, площадь территории, т – экономическая привлекательность региона, миграционная политика властей.

Рис. 10.7. Модель численности населения с учетом миграции:

x0 = 10; k = 1; т = 0; x0 = 10; k = 1; т = 4

Рассмотренные модели численности населения основаны на дифференциальных уравнениях, выведенных из связи численности населения и скорости его роста. Как обратил внимание С. П. Капица, модели численности роста можно искать в виде степенных функций:

где а и С – константы, N – численность населения, Т – время, Т1 – некоторый фиксированный момент времени.

Такого рода модели могут давать довольно точные результаты, но лишь на ограниченном промежутке времени. При приближении к T1, численность населения устремляется в бесконечность, а при возникновении Вселенной согласно формулам должны были присутствовать несколько человек [5] . Тем не менее такие модели могут быть точны на протяжении довольно длительного периода, как отчасти это показано в параграфе 10.4 для первой формулы.

Логистическое уравнение, также известное как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика), изначально появилось при изучении изменений численности населения.

Исходные предположения не естественно вывода уравнения при рассмотрении популяционной динамики выглядят следующим образом:

  • скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности, при прочих равных условиях
  • скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях. Таким образом, второй член уравнения отражает конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост популяции.

Обозначая через P <displaystyle P> численность популяции (в экологии часто используется обозначение N <displaystyle N> ), а время — t <displaystyle t> , модель можно свести к дифференциальному уравнению:

d P d t = r P ( 1 − P K ) <displaystyle <frac

>=rPleft(1-<frac

>
ight)> ,

где параметр r <displaystyle r> характеризует скорость роста (размножения), а K <displaystyle K> — поддерживающую ёмкость среды (то есть, максимально возможную численность популяции). Исходя из названия коэффициентов, в экологии часто различают [ уточнить ] две стратегии поведения видов:

Точным решением уравнения (где P 0 <displaystyle P_<0>> — начальная численность популяции) является логистическая функция, S-образная кривая, (логистическая кривая):

P ( t ) = K P 0 e r t K + P 0 ( e r t − 1 ) <displaystyle P(t)=<frac <0>e^><0>left(e^-1
ight)>>>

lim t → ∞ P ( t ) = K . <displaystyle lim _P(t)=K.>

Ясно, что в ситуации «достаточного объёма ресурсов», то есть пока P ( t ) много меньше K , логистическая функция поначалу растёт приблизительно экспоненциально:

P ( t ) P 0 e r t = K K + P 0 ( e r t − 1 ) = 1 1 + P 0 K ( e r t − 1 ) <displaystyle <frac <0>e^>>=<frac <0>left(e^-1
ight)>>=<frac <1><1+<frac
<0>>>left(e^-1
ight)>>>

Читайте также:  Что такое delivery services в информатике

Аналогично, при «исчерпании ресурсов» ( t → ∞) разность K − P ( t ) <displaystyle K-P(t)> экспоненциально убывает с таким же показателем.

Почему Ферхюльст назвал уравнение логистическим, остается неизвестным. В 1924 году Раймонд Перл применил уравнение для описания автокаталитических реакций.

Дискретным аналогом логистического уравнения является логистическое отображение.

Как правило, численность популяции зависит не только от рождаемости и смертности, но и от ограниченности пищевых и других ресурсов. Вскоре за созданием модели Мальтуса, бельгийский математик Ферхюльст задался вопросом: будет ли население Бельгии расти неограниченно? Ответом на этот вопрос было создание новой модели динамики численности популяции при ограниченных ресурсах, описываемая следующим уравнением:

dN/dt=r*N-m*N2(1)

r — удельная скорость роста численности

N — численность популяции

m — число встреч членов популяции, при котором они могут конкурировать за какой-либо ресурс

уравнение это отличается от уравнения экспотенциального роста (уравнения Мальтуса) выражением m*N2, которое как раз и отражает ограниченность ресурсов.

Перепишем уравнение (1) так:

dN/dt=N(r-m*N) (2)

Выражение в скобках — это удельная скорость роста популяции. Причем чем больше численность популяции (N), тем меньше скорость роста. Если в правой части уравнения вынести за скобки выражение r

dN/dt=N*r(1-N*m/r)

и обозначить m/r за 1/K, то уравнение (1) можно переписать так:

dN/dt=N*r(1-N/K) (3)

При малых N значением N/K можно пренебречь, и тогда рост численности идет по экспоненциальному закону, при возрастании N и неизменном K рост численности будет замедляться, и при N близком к К рост остановится. Величину К называют емкостью среды. Она отражает возможности среды обитания предоставить популяции нужные для ее роста ресурсы.

Уравнение (3) графически отображается в виде S-образной кривой. Эта кривая называется логистической кривой, а рост численности, соответствующий уравнению (3) — логистическим.

Исследуя кривую, можно сказать, что максимальная скорость роста достигается, когда численность равна K/2. В некоторый момент численность стабилизируется и остается постоянной величиной.

Популяции, существующие в условиях ограниченных ресурсов, часто хорошо подчиняются правилам логистического роста. Например, когда овцы были завезены в Тасманию, рост их стада описывался логистической кривой.

Но правила логистического роста приложимы не ко всем случаям. Например, у размножающихся половым путем видов, при слишком малой численности мала вероятность встреч особей разного пола и размножение может вообще прекратиться.

Для реализации модели в среде электронных таблиц уравнение (3) следует представить в дискретном виде:

N(i+1)=N(i)*r*(1-N(i)/K) (4)

где N(i) — численность популяции в i-й момент времени;

r — удельная скорость роста популяции (рождаемость/ смерность);

К — емкость среды

От уравнения Ферхюльста отталкиваются ученые, подразделяющие воспроизводство на два отдельных принципа или стратегии:

R-стратегия — это почти ничем не регулируемое размножение. Смертность у таких видов ограмона, но даже она не спасает популяцию от чрезмерного разрастания, в связи с чем эти виды то и дело проходят стандартную процедуру: популяционный взрыв, коллапс, стабилизация.

Как только концентрация вида становится чрезмерной, начинает страдать кормовая база, распространяются инфекции, повышается уровень внутривидовой агрессии, не хватает места, включаются механизмы паники — вариантов коллапса бывает много. Но все они приводят к уничтожению большинства животных. Лемминги, несущиеся толпами в море, саранча, устилающая своими телами южные города. После коллапсов идет период относительно благополучной стабилизации, когда опять можно безнаказанно размножаться. Потом все повторяется заново.

К-стратегии придерживаются почти все крупные млекопитающие и большинство видов птиц. Она заставляет вид самостоятельно контролировать свою численность разными способами. Самые популярные — воздержание и умерщвление потомства.

Воздержание обычно выбирают звери-одиночки (тигры, барсуки, зяблики, медведи. ). Для них характерно наличие собственных "охотничьих угодий" — территории, которая контролируется одной особью или супружеской парой. Молодые животные, которые пока не нашли пару, придерживаются целибата, т.к. право на размножение нужно заслужить.

Читайте также:  Как узнать cid sd карты

Стадным или стайным животным больше присущ метод уничтожения нежелательного потомства. Незадолго перед родами у самок включается механизм "проверки популяции". Если обилие тел сородичей вдруг вызывает у мамы беспокойство, если она не может находить себе качественный корм, если условия для выращивания детенышей она оценивает как неблагоприятные, шансы на то, что она не сожрет детенышей или не бросит их на произвол судьбы, очень невысокие.

Но нужно добавить, что К-стратегия не является панацеей — если по каким-то причинам она не срабатывает, то стандартный набор взрыв-коллапс-стабилизация постигает и вид с К-стратегией.

Человек изначально носитель К-стратегии. Но т.к. мы принадлежим к виду, который ухитряется искусственно увеличивать базу своих ресурсов, наша популяция почти всегда находится в ситуации "перед взрывом". Мы же почти всегда умудрялись держать свою популяцию на пределе, за что периодически попадаем на голод, войну или мор — три основных внешних регулятора, работающих по принципу r-стратегии.

Крупные города, правда, всегда были демографическими дырами, где детей рождается крайне мало. Древний Рим, современная Москва — везде одинаково — при такой скученности расселения люди практически перестают размножаться. Мегаполисы работают как ловушки, постоянно собирают в себя людей из деревень, сел и потихоньку как бы "стерилизуют". Способы у этого разные: поднятие брачного возраста, дороговизна брачных обрядов, реклама контрацептивов, создание института монашества, легализация абортов, обилие инфекций, косящих детей до 10 лет, но ни один мегаполис не растет естественным путем — только за счет приезжих, которые уже во втором-третьем поколении тоже сводят свою фертильность к минимуму.

Оно, конечно, за последние сто лет, несмотря на две мировые войны, увеличило свою численность в четыре раза благодаря фармацевтической и сельскохозяйственной революциям, люди стали просто дольше жить. Но там, где происходит масштабная урбанизация, и основная часть населения перебирается в крупные города, происходит мгновенная стабилизация роста рождаемости с последующим ее угасанием. В результате практически вся Европа, США, Россия, Япония последние десятилетия показывают естественную убыль населения.

Насколько подвластно человеку попадать или не попадать под фертильный пресс мегаполиса — х.з. Но, в принципе, некоторые авторы, увлекающиеся этологией в стиле Конрада нашего Лоренца, считают, что со своей К-стратегией, не дающей нам размножаться, можно подружиться и ее утихомирить:

Когда люди все-таки решают продолжить род, их К-стратегия так просто не сдается. Она может вызывать беспокойство и уныние во время беременности вплоть до депрессии у недавно родивших родителей, может вызывать приступы паники, агрессии по отношению к малышу, мыслей о том, нафига все это было нужно. Но это все как бы временно, максимум — до родов плюс 3-4 месяца. Как только "этап выбора репродуктивного поведения" будет пройден, и k-стратегия махнет на вас рукой, в свои законные права вступит столь же древний и могучий родительский инстинкт. Как мы понимаем, это довольно своеобразное объяснение послеродовой депрессии матери или паники у отца, но такой взгляд тоже есть.

репродуктивный потенциал, важнейший условный показатель, отражающий способность популяции кразмножению, выживанию и развитию при оптимальных экология, условиях, т. е. к увеличению численностипри отсутствии лимитирующих факторов. Идентичен показателю потенциального роста популяции.

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Ссылка на основную публикацию
Материнка не издает звуков
Не запускается материнская плата Слишком долгий и "муторный" процесс, поэтому запаситесь терпением. Не стартует материнская плата Причиной не стартующей MB...
Логарифмическая спираль как построить
Исторические сведения Логарифмическая спираль была впервые описана Декартом (1638 г., опубликовано в 1657 г). Декарт искал кривую, обладающую свойством, подобным...
Лучшие программы для видеонаблюдения ip камер
Чтобы обеспечить на территории безопасность, недостаточно установить камеры. Это только техническая сторона вопроса. Не менее важно подобрать подходящую программу для...
Материнская плата intel desktop board 02 характеристики
Тип материала Совместимость Идентификатор статьи 000005866 Последняя редакция 30.09.2019 Системная плата Intel® D102GGC2 для настольных ПК поддерживает один процессор Intel®...
Adblock detector