Посчитай элементы последовательности an 1

Посчитай элементы последовательности an 1

Рассмотрим ряд натуральных чисел: 1, 2, 3, , n – 1, n,  .

Если заменить каждое натуральное число n в этом ряду некоторым числом an, следуя некоторому закону, то получим новый ряд чисел:

кратко обозначаемый и называемыйчисловой последователь- ностью. Величина an называется общим членом числовой последовательности. Обычно числовая последовательность задается некоторой формулой an = f(n) позволяющей найти любой член последовательности по его номеру n; эта формула называется формулой общего члена. Заметим, что задать числовую последовательность формулой общего члена не всегда возможно; иногда последовательность задается путем описания ее членов.

По определению, последовательность всегда содержит бесконечное множество элементов: любые два разных ее элемента отличаются, по крайней мере, своими номерами, которых бесконечно много.

Числовая последовательность является частным случаем функции. Последовательность является функцией, определенной на множестве натуральных чисел и принимающей значения в множестве действительных чисел, т. е. функцией вида f : NR.

Последовательность называетсявозрастающей (убывающей), если для любого nN Такие последовательности называютсястрого монотонными.

Иногда в качестве номеров удобно использовать не все натуральные числа, а лишь некоторые из них (например, натуральные числа, начиная с некоторого натурального числа n). Для нумерации также возможно использование не только натуральных, но и других чисел, например, n = 0, 1, 2,  (здесь в качестве еще одного номера к множеству натуральных чисел добавлен ноль). В таких случаях, задавая последовательность, указывают, какие значения принимают номера n.

Если в некоторой последовательности для любого nN то последовательность называетсянеубывающей (невозрастающей). Такие последовательности называются монотонными.

Пример 1. Числовая последовательность 1, 2, 3, 4, 5, … является рядом натуральных чисел и имеет общий член an = n.

Пример 2. Числовая последовательность 2, 4, 6, 8, 10, … является рядом четных чисел и имеет общий член an = 2n.

Пример 3. 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, … − числовая последовательность приближенных значений с увеличивающейся точностью.

В последнем примере невозможно дать формулу общего члена последовательности.

Пример 4. Записать первых 5 членов числовой последовательности по ее общему члену . Для вычисленияa1 нужно в формулу для общего члена an вместо n подставить 1, для вычисления a2 − 2 и т. д. Тогда имеем:

Тест 6. Общим членом последовательности 1, 2, 6, 24, 120,  является:

1)

2)

3)

4)

Тест 7. Общим членом последовательности является:

1)

2)

3)

4)

Тест 8. Общим членом последовательности является:

1)

2)

3)

4)

Предел числовой последовательности

Рассмотрим числовую последовательность, общий член которой приближается к некоторому числу А при увеличении порядкового номера n. В этом случае говорят, что числовая последовательность имеет предел. Это понятие имеет более строгое определение.

Число А называется пределом числовой последовательности:

(1)

если для любого  > 0 найдется такое число n = n(), зависящее от , что приn > n.

Это определение означает, что А есть предел числовой последовательности, если ее общий член неограниченно приближается к А при возрастании n. Геометрически это значит, что для любого  > 0 можно найти такое число n, что, начиная с n > n, все члены последовательности расположены внутри интервала (А – , А + ). Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся; в противном случае – расходящейся.

Числовая последовательность может иметь только один предел (конечный или бесконечный) определенного знака.

Пример 5. Гармоническая последовательность имеет пределом число 0. Действительно, для любого интервала (–; +) в качестве номера N можно взять какое-либо целое число, больше . Тогда для всехn > n >имеем

Пример 6. Последовательность 2, 5, 2, 5,  является расходящейся. Действительно, никакой интервал длины, меньшей, например, единицы, не может содержать всех членов последовательности, начиная с некоторого номера.

Последовательность называется ограниченной, если существует такое число М, что для всехn. Всякая сходящаяся последовательность ограничена. Всякая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел. Всякая сходящаяся последовательность имеет единственный предел.

Пример 7. Последовательность является возрастающей и ограниченной. Она имеет предел=е.

Число e называется числом Эйлера и приблизительно равно 2,718 28.

Тест 9. Последовательность 1, 4, 9, 16,  является:

4) арифметической прогрессией;

Читайте также:  Как установить twrp без рут прав

5) геометрической прогрессией.

Тест 10. Последовательность является:

4) арифметической прогрессией;

5) геометрической прогрессией.

Тест 11. Последовательность не является:

Тест 12. Предел последовательности, заданной общим членом равен:

Числовой последовательностью называют ряд чисел, полученных по некоторому правилу или формуле.

Например, правило «все положительные четные числа по возрастанию начиная с двойки» задает последовательность: (2; 4; 6; 8; 10. ) А правило «первое число равно (3), а каждое следующее число в два раза больше предыдущего» формирует последовательность: (3; 6; 12; 24; 48. )

Ниже разобраны несколько разных способов задания числовых последовательностей.

Числа, образующие последовательность, называются ее членами (или элементами). И каждое из этих чисел имеет свой порядковый номер.

Например, в последовательности (3; 6; 12; 24; 48…) тройка является первым членом (порядковый номер – один), шестерка – вторым (ее номер по порядку равен двум), двенадцать – третьим и т.д.

В математике последовательность обозначают маленькой латинской буквой, а каждый отдельный ее элемент – той же буквой с числовым индексом равным порядковому номеру этого элемента.

То есть, если последовательность (3; 6; 12; 24; 48…) обозначить как (a_n), то можно записать, что (a_1=3), (a_2=6), (a_3=12), (a_4=24) и так далее.

порядковый номер элемента

Отметим, что членами последовательности необязательно должны быть различные числа. Она может состоять из одних и тех же чисел, например, выглядеть вот так: (1; : 1; : 1; : 1…) .

Способы задания числовых последовательностей

Все способы формирования числовых последовательностей можно разделить на три большие группы:

— I способ: словесный. Здесь все просто – в буквальном смысле словами описывается каким образом можно вычислить элементы искомой последовательности.

Пример: Напишите первые пять членов последовательности квадратов натуральных чисел .

Решение: Натуральными называют числа, возникающие естественным образом при счете количества предметов, то есть: (1; : 2; : 3; : 4; : 5) и т.д. Нашу же последовательность формируют квадраты этих чисел, то есть (1^2;: 2^2; : 3^2; : 4^2; : 5^2…) . Таким образом, имеем ответ: (1; : 4; : 9; : 16; : 25…)

Отметим, что последовательности в начале статьи заданы именно словесным способом.

— II способ: аналитический (формулой энного члена). Тут значение каждого элемента последовательности вычисляется по некоторой формуле, в которую подставляется порядковый номер этого элемента.

Пример: Последовательность задана формулой: (b_n=frac). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Вычислим (b_1). Это первый член последовательности, то есть его порядковый номер (n) равен единице. Тогда его значение равно (b_1=frac<1-1> <1^2>=frac<0><1>=0).
У второго члена (n=2), то есть его значение равно (b_2=frac<2-1> <2^2>=frac<1><4>).
Третий ((n=3)): (b_3=frac<3-1> <3^2>=frac<2><9>).
Четвертый ((n=4)): (b_4=frac<4-1> <4^2>=frac<3><16>).
Пятый ((n=5)): (b_5=frac<5-1> <5^2>=frac<4><25>) .
Готово. Можно писать ответ.

Обратите внимание, что при таком задании последовательности, значение каждого элемента зависит только от его порядкового номера. И поэтому, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, мы можем это сделать сразу, не вычисляя предыдущие четырнадцать.

Пример: Последовательность задана формулой: (a_n=8+5n-n^2). Вычислите (a_9).

Решение: Нужно вычислить значение девятого элемента, то есть порядковый номер (n=9). Подставляем в формулу: (a_9=8+5·9-9^2=8+45-81=-28).

III способ: рекуррентное соотношение. Звучит страшно, но суть проста – здесь дается начало последовательности (один или несколько первых элементов) и правило, по которому из предыдущего (или нескольких предыдущих) членов последовательности можно вычислить следующий.

Пример: Последовательность задана условиями: (c_1=4), (c_=c_n+3). Вычислите первые пять членов этой последовательности.

Решение: Первый член нам известен: (c_1=4).
Второй мы получим, подставив в формулу вместо (n) единицу: (c_<1+1>=c_1+3)
(c_2=c_1+3=4+3=7)
Третий ((n=2)): (c_<2+1>=c_2+3 )
(c_3=c_2+3=7+3=10).

Нужные пять элементов вычислены. Теперь можно записывать ответ.

В этом примере мы по сути получали следующий элемент из предыдущего путем прибавления к предыдущему тройки. Логично, ведь формула (c_=c_n+3) требовала именно этого. В ней (c_n) – это предыдущий элемент, а (c_) – следующий за ним (ведь его номер на единицу больше).

На практике могут встречаться более сложные формулы, в которых следующий элемент вычисляется из двух, трех или даже большего количества предыдущих.

Читайте также:  Проверка текста на ошибки пунктуация и орфография

Пример: У последовательности известны первые два элемента (z_1=2;) (z_2=5). Так же известна формула следующего элемента (z_=3z_-z_n). Вычислите значения третьего, четвертого и пятого членов.

Решение: Слева будем писать текущую последовательность, а справа вести вычисления очередного элемента.

Последовательность на данный момент:

(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (. ) (2) (5) ? ? ? (. )

Так как формула дана для элемента с номером (n+2), то чтобы найти (z_3) нужно подставлять вместо (n) единицу:
(z_<1+2>=3z_<1+1>-z_1)
(z_3=3z_2-z_1=3·5-2=13)

(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (. ) (2) (5) (13) ? ? (. )

Теперь найдем (z_4), подставив вместо (n) двойку:
(z_<2+2>=3z_<2+1>-z_2)
(z_4=3z_3-z_2=3·13-5=34)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (. ) (2) (5) (13) (34) ? (. ) Наконец вычисляем (z_5), подставляя вместо (n) тройку:
(z_<3+2>=3z_<3+1>-z_3)
(z_5=3z_4-z_3=3·34-13=89)
(z_1) (z_2) (z_3) (z_4) (z_5) (. ) (2) (5) (13) (34) (89) (. ) Готово. Можно писать ответ.

Важное отличие рекуррентного способа задания последовательности от аналитического – при рекуррентном мы не можем посчитать следующий элемент, не зная предыдущих. То есть, если нам нужно вычислить, например, пятнадцатый элемент, придется сначала вычислить все, что идут до него.

Как определить является ли число элементом последовательности?

Во всех предыдущих примерах мы находили значения элементов последовательности – чему равен третий, пятый или девятый член. Иначе говоря, выясняли какое именно число стоит в последовательности на таком-то месте.

Но в практике встречается также обратная задача – значение известно и надо выяснить, есть ли оно среди элементов некоторой последовательности? А если есть, то на каком месте?

Пример (ОГЭ): Какое из чисел ниже есть среди членов последовательности (a_n=n^2-n):

Решение: Из условия задачи понятно, что одно из этих чисел точно является элементом последовательности. Поэтому мы можем просто вычислять элементы по очереди, пока не найдем нужный:

(a_2=2^2-2=2) – тоже не то.

Нужный элемент найден.

Такой метод решения годится только если заранее известно, что элемент точно в последовательности есть. Потому что если его вдруг там нет – это можно проверять вечность, последовательность ведь бесконечна!

Поэтому в такой ситуации пользуются следующим алгоритмом:

Подставляют заданное число в формулу (n) -го члена вместо (a_n);

Решая полученное уравнение , находят неизвестное (n);

Если (n) – натуральное , то данное число — член последовательности.

Пример: Выяснить, является ли число (3) членом последовательности (a_n=) (frac<51+2n>) ?

Если число (3) – член последовательности, то значит при некотором значении (n), формула (frac<51+2n>) должна дать нам тройку. Найдем это (n) по алгоритму выше.
Подставляем тройку вместо (a_n).

Решаем это уравнение. Умножаем левую и правую части на знаменатель ((n+4)).

Нет времени писать другую работу ?

Доверь это кандидату наук!

По просьбам читателей возобновляем рубрику «Математика для чайников». Говорим о числовых последовательностях и вычислении их пределов. Выясняем, чем последовательность отличается от простого набора чисел и как ее можно задать.

Нужно больше полезной и интересной информации? Этого добра много не бывает! Присоединяйтесь к нам в телеграм.

Последовательности чисел

Мы сталкиваемся с последовательностями чисел каждый день. Вот только встреча с последовательностями на экзамене может быть не самой приятной.

Чтобы было иначе, читаем эту статью, а если что-то непонятно, смело обращаемся к нашим консультантам за помощью.

Одна из самых интересных и известных последовательностей – числа Фибоначчи. Эта последовательность имеет удивительные свойства и часто встречается в природе. Например, семечки у подсолнуха упорядочены в две спирали. Числа, обозначающие количество семечек в каждой из них, являются членами последовательности Фибоначчи.

Что такое числовая последовательность?

Последовательность – это набор элементов множества, который удовлетворяет следующим условиям:

  • для каждого натурального числа существует элемент данного множества;
  • это число является номером элемента и обозначает позицию данного элемента в последовательности;
  • для любого элемента последовательности можно указать следующий за ним элемент.

Числовая последовательность – это функция переменной n, которая принадлежит множеству натуральных чисел N.

Существованием функции, по которой можно вычислить любой член последовательности, она и отличается от случайного набора чисел.

Читайте также:  Во сколько раз потенциальная энергия накопленная пружиной

На словах звучит громоздко и сложно. Но на то это и математика, чтобы записывать все буквами и числами. Обычно последовательность обозначают буквой x, хотя можно применять и другие.

Какие бывают последовательности

  • постоянную, или монотонную последовательность: 1, 1, 1, 1, 1.
  • возрастающую последовательность, в которой каждый следующий элемент больше предыдущего
  • убывающую последовательность, в которой каждый следующий элемент меньше предыдущего

Также последовательности делятся на сходящиеся и расходящиеся. Сходящаяся последовательность имеет конечный предел. А предел расходящейся последовательности равен бесконечности, либо последовательность вообще не имеет предела. Но о пределах немного позже.

Рассмотрим самые известные примеры последовательностей. Еще со школы всем знакомы арифметическая и геометрическая прогрессии.

Арифметическая прогрессия

Посмотрим на числа:

Что у них общего? Они все нечетные и каждое следующее можно получить из предыдущего, прибавляя к нему одно и то же число. Назовем его d. В данном случае d=2.

Описанная выше последовательность – арифметическая прогрессия. Приведем основные формулы для нее:

Элемент a с номером n называется общим членом последовательности. А число d – разностью афифметической прогрессии.

Сумма первых n членов прогрессии вычисляется по формуле:


Также африфметическая прогрессия обладает характреристическим свойством:

Геометрическая прогрессия

Геометрической прогрессией называется последовательность чисел, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же число q – знаменатель прогрессии. Элементы геометрической прогрессии задаются соотношением:

Основные формулы для геометрической прогрессии приведены ниже. Формула n-го члена прогрессии:

Сумма первых n членов прогрессии:

Характеристическое свойство геометрической прогрессии:

Способы задания последовательностей

Последовательность можно задать несколькими способами:

  1. Аналитически или, проще говоря, формулой.
  2. Реккурентно. Здесь известно несколько первых членов прогрессии и есть формула, которая позволяет вычислить последующие.
  3. Описательно, простым перечислением всех элементов последовательности.

Предел последовательности

Мы уже говорили о пределах функций и способах их вычисления. Из определения последовательности следует, что последовательность – это и есть некоторая функция. Так что, вычисление пределов последовательностей будет во многом схоже с вычислением пределов функций. Правда, со своими особенностями.

Предел последовательности – это такой объект, к которому стремятся члены последовательности с ростом порядкового номера n.

Скажем иначе. Это число, в окрестности которого лежат все члены последовательности, начиная с некоторого.

Переменная n в последовательностях всегда стремится к бесконечности, в сторону увеличения натуральных чисел.

Что нужно помнить, вычисляя пределы последовательностей

Кстати! Также полезно помнить, что для всех наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы.

  1. Последовательность может иметь только один предел.
  2. Если последовательность имеет предел, то она ограничена. Обратное верно не всегда!
  3. Если члены некоторой последовательности zn заключены между соответствующими членами двух последовательностей xn, yn, сходящихся к одному пределу, то и эта последовательность сходится к тому же пределу.
  4. Предел постоянной последовательности равен ее постоянному.
  5. Если две последовательности x и y равны между собой, то пределы этих последовательностей также равны между собой, если они существуют.
  6. Если каждый член сходящейся последовательности не превосходит соответствующего члена другой сходящейся последовательности, то и предел первой не превосходит предела второй.
  7. Предел суммы (разности) двух последовательностей равен сумме (разности) их пределов. При условии, что обе последовательности имеют пределы.
  8. Предел произведения двух последовательностей, имеющих пределы, существует и равен произведению пределов последовательностей.
  9. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.
  10. Предел частного двух последовательностей, имеющих пределы, равен частному пределов этих последовательностей, если предел знаменателя не равен нулю.

Для проверки своих решений при вычислении пределов не обязательно нести работу на проверку преподавателю. Достаточно воспользоваться онлайн калькулятором.

Тема последовательностей разрабатывалась многими математиками на протяжении веков. Охватить ее в одной статье просто невозможно. Здесь мы дали лишь поверхностное представление. Если у вас есть вопросы или нужна консультация – обращайтесь к специалистам студенческого сервиса, которые помогут быстро прийти к понимаю.

Ссылка на основную публикацию
Показатели эффективности системного администратора
Руководитель архивного агентства системного администратора отдела финансово-экономической деятельности и материального обеспечения архивного агентства Красноярского края Раздел 1. Общие положения 1.1....
Планшет с возможностью звонить
Характеристика в рейтинге 1 Samsung Galaxy Tab S4 10.5 SM-T835 64Gb Самый популярный 2 HUAWEI MediaPad M5 Lite 10 32Gb...
Планшет с возможностью подключения к телевизору
Мощные современные планшеты дают пользователям множество возможностей. С их помощью удобно сидеть в интернете, играть в производительные игры или смотреть...
Показать видео как сделать
Просто скачайте программу и следуйте инструкции ниже! Как сделать видеоролик в домашних условиях 20 Февраля 2020 Какой подарок самый лучший?...
Adblock detector