Прочтите следующие записи заменив символические обозначения

Прочтите следующие записи заменив символические обозначения

Цель. Рассмотреть правила определения значения истинности составного высказывания и высказывательных форм с кванторами.

Теоретическая часть

Вопросы к изучению

1. Высказывания с кванторами.

2. Истинность высказываний с кванторами.

3. Отрицание высказываний и высказывательных форм.

Основные понятия темы

Ø квантор общности;

Ø квантор существования;

Ø отрицание высказываний и высказывательных форм.

Правила

Ø нахождения множества истинности составных высказывательных форм:

Т А Ù В = ТА Ç Т В, Т А Ú В = ТА È Т В, построения отрицания предложений различной структуры, в частности,

и Ú Û Ù .

Û ($ х) ; Û (" х) .

Обозначения

" х – «для всякого х», квантор общности;

$ х — «существует х такое, что …», квантор существования;

— « не А», « неверно, что А», отрицание данного предложения

Практическая часть

1. В высказывании «всякий прямоугольник является четырехугольником» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив слово «всякий» его синонимом.

2. В высказывании «хотя бы одно из чисел первого десятка составное» выделите квантор и высказывательную форму. Переформулируйте данное высказывание, заменив квантор «хотя бы одно» его синонимом.

3. Прочитайте следующие записи, заменив символические обозначения кванторов общности и существования их словесными выражениями: а) ("х ÎR) х 2 – 1 = (х+1) (х-1); б) ($ у Î R) 5 + у =5; в) ("у ÎR) у + 3 > 0; г) ($ х Î N) х +3 2 + вх +с = 0 имеет хотя бы один корень.

5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и определите их значение истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.

6. Установите, какие из нижеприведенных высказываний истинны, а какие ложны: а) Во всяком четырехугольнике диагонали равны; б) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) При делении на 5 некоторых натуральных чисел в остатке получается 7; г) Любое однозначное число является решением неравенства х + 2 > 1.

7. Докажите или опровергните следующие высказывания: а) Существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Всякое целое число является натуральным; в) Сумма любых двух четных чисел есть число четное; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения 7: х =2.

8. Данные ниже высказывания взяты из учебников математики для начальных классов. Выясните, какие из них содержат (в явном или неявном виде) квантор и как следует устанавливать их значение истинности (указать только способ и обосновать его выбор): а) От перестановки слагаемых сумма не изменяется; б) Два соседних слагаемых можно заменять их суммой; в) Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину; г) Существуют четные числа; д) Некоторые числа делятся на 4; е) Среди многоугольников есть треугольники.

9. Сформулируйте отрицания следующих предложений: а) Число 123 делится на 9; б) При делении числа 32 на 5 в остатке получится 7; в) 3+2

13. Сформулируйте предложения, которые начинаются словами «неверно, что» и имеют тот же смысл, что и данные: а) Прямые АВ и СД не параллельны и не пересекаются; б) Стороны четырехугольника АВСД не параллельны или не равны; в) Существуют уравнения, не имеющие действительных корней; г) Все прямоугольники не имеют равных смежных сторон.

Читайте также:  Пробел в двоичном коде

14. Постройте отрицания следующих высказываний и выясните, что истинно – данное высказывание или его отрицание: а) Произведение чисел 4070 и 8 меньше, чем сумма чисел 18396 и 14174; б) Частное чисел 25842 и 6 меньше разности чисел 14150 и 9833; в) Среди различных прямоугольников есть такие, площади которых равны; г) Среди чисел есть такие, которые делятся на 5 и на 7; д) Существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти.

1. Какие из нижеприведенных предложений являются отрицанием высказывания «Все натуральные числа кратны 5»; свой выбор обоснуйте: а) Все натуральные числа не кратны 5; б) Существуют натуральные числа, не кратные 5; в) Существуют натуральные числа, кратные 5; г) Неверно, что все натуральные числа кратны 5; д) Не все натуральные числа кратны 5.

2. Постройте двумя способами отрицание высказывания: а) Всякое свойство квадрата присуще прямоугольнику; б) Некоторые простые числа являются четными.

3. Известно, что объект Х обладает свойствами a, b, d. Что означает отрицание этого высказывания?

4. Постройте отрицания следующих высказываний: а) существует натуральное число, не делящиеся на 2; б) для любого натурального числа а найдется такое натуральное число, на которое не делится а; в) для любых двух натуральных чисел а, в справедливо одно и только одно из отношений а >в, в > а; г) существуют две непараллельные прямые; д) у всех прямоугольников все углы прямые; е) ни для какого натурального числа а не найдется натуральное число в такое, что а + в

Последнее изменение этой страницы: 2016-12-28; Нарушение авторского права страницы

Зачет по информатике для 12 групп

Количество зачетов – 1.

Дата сдачи – согласно расписания.

На отметку «удовлетворительно» необходимо оформить в отдельной тетради по информатике ответы на контрольные вопросы по всем темам за курс.

На отметку «хорошо» необходимо выполнить условия «удовлетворительной отметки» и не менее 50% дополнительных заданий.

На отметку «отлично» необходимо выполнить условия «удовлетворительной отметки» и не менее 75% дополнительных заданий.

Глава 1. Алгебра логики. Теория множеств.

1.1 Понятие множества и элемента множества.

1.2 Способы задания множеств.

1.3 Отношения между множествами.

1.4 Пересечение множеств.

1.5 Объединение множеств.

1.6. Свойства пересечения и объединения множеств.

1.7. Вычитание множеств. Дополнение множества.

1.8 Разбиение множества на классы

Глава 2. Алгебра логики. Высказывания.

2.1 Высказывания и высказывательные формы.

2.2.Элементарные функции алгебры логики.

2.3.Элементарные функции от двух переменных.

2.4.Зконы алгебры логики.

2.5 Высказывания с кванторами.

ГЛАВА1. УРОК 1. Понятие множества и элемента множества.

1.Назовите по три элемента множества: учебных предметов; четных натуральных чисел; четырехугольников.

2.М – множество точек окружности, изображенной на рисунке. Прочитайте следующие предложения и укажите среди них верные: а) А М; б) O M; в) В М; г) C M. Как изменить условие задачи, чтобы все утверждения верными?

Читайте также:  Чем отличается озу серверная от обычной

3.Запишите с помощью знаков и , какие из отрезков АВ, СD, ЕF и РН проходят через точку М, а какие через нее не проходят.

4.Р — множество натуральных чисел, больших 7 и меньше 14. Выяс­ните, какие из чисел 13, 10, 5, 7, 14 ему принадлежат, а какие не принад­лежат. Ответ запишите, используя знаки и .

5.Даны числа: 0; 7; — 3,8; — 17; 325; ; — 0,64; . Установите, какие из них: натуральные; целые; рациональные; действительные.

6.Приведите по два примера натуральных, целых, рациональных и иррациональных чисел.

7.Запишите множество букв в слове «математика» и множество цифр в записи числа 5125353.

ГЛАВА1. УРОК 2. Способы задания множеств.

1. Запишите с помощью знака равенства и фигурных скобок предложения:

а) X — множество чисел 0,1,2, 3, 4, 5; б) Y — множество букв а, Ь, с.

2. Запишите, используя символы, множество Р, если оно состоит из натуральных чисел:

а) больших 100, но меньших 200; б) меньших 150.

3. Перечислите элементы следующих множеств:

А — четные однозначные числа; В — натуральные числа меньшие 20; С — двузначные числа, делящиеся на 10.

4. Укажите характеристическое свойство элементов множества:

5. Изобразите на координатной прямой множество решений неравенства, если x — действительное число:

а) x>5; б)x 10; в) в любом прямоугольнике противоположные стороны равны;

г) (12-х)- 4 = 24; д) среди четырехугольников есть такие, у которых все стороны равны; е) число 2 — двузначное;

ж) произведение 4070 и 8 меньше, чем сумма 18396 и 14174; з) число 6 является корнем уравнениях) • 4 = 24.

2. Какие предложения из упражнения 1 являются высказывательными формами? Подставьте в них значение переменной так, чтобы получилось: а) истинное высказывание; б) ложное высказывание.

3. Можно ли считать высказывательными формами следующие записи:

а) х2- — 2х; б) 4х + 2у; в)7.4 + 2 = 30; г)7.4 + 2 2; б)х 0; г)xQ, x+3

ЗАКОНЫ ДЕ МОРГАНА.

ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ИМПЛИКАЦИИ.

ЗАКОНЫ ЗАМЕНЫ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ.

Высказывания с кванторами.

Мы выяснили, что среди математических предложений есть высказывания и высказывательные формы. Для того, чтобы высказывательную форму преобразовать в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в форму, подставить ее значение. Однако существуют и другие способы получения высказываний из высказывательных форм.

Определение: Выражение «для всякого х» в логике называется квантором общно­сти по переменной х и обозначается символом х. Запись х, (А(х)) означает: «для всякого значения х предложение А(х) — истинное высказывание».

Определение: Выражение «существует х такое, что . » в логике называется квантором существования по переменной х и обозначается символом х. Запись х, (А(х)) означает: «существует такое значение х, что А(х) -истинное высказывание».

Замечание : Если задана одноместная высказывательная форма А(х), то чтобы превратить ее в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащуюся в ней переменную. Заметим, что в математике наряду со словом «всякий» употребля­ют слова «каждый», «любой», а со словом «существует» использу­ют слова «некоторые», «найдется», «есть», «хотя бы один».

Задача 1. Установить, истинны или ложны следующие высказы­вания:

Читайте также:  Как в ворде писать справа налево

а) х<0, 1, 4>, значение выражения (4 — х):(2х + 1) есть число целое. – ИСТИННО.

Действительно, чтобы убедиться в истинности данного выска­зывания, достаточно показать, что при подстановке каждого числа из множе­ства <0, 1, 4>в выражение (4-х):(2х + 1) получается целое число. Пусть х = 0, тогда (4-0):(2-0 + 1) = 4; если х = 1,то (4-1):(2-1 + 1) = 1; если х = 4,то (4-4):(2-4 + 1) = 0.

б) Произведение двух любых последовательных натуральных чисел кратно 2.

Докажем методом математической индукции.

– Пусть x = 1, тогда x*(x+1) = 1*2 = 2 – кратно 2.

– Пусть x = n, и пусть выражение n*(n+1) тоже кратно 2.

– Пусть x = n+1. Покажем истинность утверждения. (n+1)(n+2) = n 2 +3n+2 = (n 2 +n)+(2n+2) = (n*(n+1))+(2(n+1)). n*(n+1) кратно 2 согласно вышеописанному. 2(n+1) – кратно 2, и это очевидно. сумма кратных чисел также кратно. Что и требовалось доказать.

в) Всякое натуральное число делится на 5. – ЛОЖНОЕ.

Убедиться в этом можно, назвав натуральное число, которое не де­лится на 5, например число 12.

Утверждение 1: Истинность высказывания с квантором общности устанав­ливается путем доказательства. Показать ложность таких высказы­ваний можно, приведя контрпример.

Задача 2. Установить, истинны или ложны следующие высказы­вания:

а) Среди треугольников есть прямоугольные. – ИСТИННО.

Чтобы убедиться в истинности такого высказывания, достаточно привести пример. В данном случае прямоугольный треугольник можно начертить.

б) Некоторые прямоугольные треугольники являются равносторон­ними. – ЛОЖНО.

Если треугольник прямоугольный, то в нем один угол равен 90°, а в равностороннем все углы 60°. Следовательно, ни один прямоугольный треугольник не может быть равносторонним. Поэтому данное высказывание ложное.

Утверждение 2: Истинность высказывания с квантором существования уста­навливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в лож­ности такого высказывания, необходимо провести доказательство.

1. Выделите квантор и высказывательную форму в высказываниях: «всякий прямоугольник является четырехуголь­ником», «хотя бы одно из чисел первого десятка состав­ное» Переформули­руйте высказывания, заменив квантор его синонимом.

3. Прочтите следующие записи, заменив символические обозначе­ния кванторов общности и существования их словесными выражениями: а)xR,x 2 -1=(x-1)(x+1); б)yZ, 5-y=5; в)xZ, y+3>0; г)xQ, x+3 2 + Ьх + с = 0 имеет хотя бы один корень.

5. Запишите, используя символы, следующие высказывания и оп­ределите их значения истинности: а) Всякое число, умноженное на нуль, есть нуль; б) Произведение любого числа и единицы равно этому числу; в) При делении нуля на любое другое число получается нуль; г) Квадрат любого числа неотрицателен.

6. Установите, какие из высказываний истинны, а какие ложны. а)При делении некоторых натуральных чисел на 5, в остатке получается 7; б)существуют числовые выражения, значения которых нельзя найти; в) во всяком четырехугольнике диагонали равны

7. Докажите или опровергните высказывания: а) существуют уравнения, множество решений которых пусто; б) Сумма двух четных чисел есть число четное; в) Всякое целое число является натуральным; г) Хотя бы одно натуральное число является решением уравнения х=2.

8. Приведите по три утверждения высказываний с квантором общности и по три утверждения с квантором существования из курса алгебры и геометрии. Докажите или опровергните эти утверждения.

Ссылка на основную публикацию
Пропал контакт в вайбере почему
Самое редкое явление, когда один или все контакты перестают отображаться в соответствующей вкладке Viber. Данная ошибка возникает по нескольким причинам...
Проблема с прохождением 3ds что это
Часто при покупках онлайн жизнь покупателю омрачают разные технические заморочки. Одна из частых ситуаций — сбои в обработке платежей с...
Пропал контакт в вайбере почему
Самое редкое явление, когда один или все контакты перестают отображаться в соответствующей вкладке Viber. Данная ошибка возникает по нескольким причинам...
Прописные английские буквы на клавиатуре
Как набрать прописные буквы на клавиатуре? Автор публикации Pin Chesnochny Достижение получено 11.09.2018 Любые прописные буквы набираются одними и теми...
Adblock detector