Распределение пуассона в excel

Распределение пуассона в excel

Функция ПУАССОН.РАСП в Excel используется для получения распределения Пуассона для случайных событий, происходящих за определенный промежуток времени с известной средней частотой.

Закон Пуассона распределения вероятностей случайной величины в Excel

Функция ПУАССОН.РАСП возвращает два варианта значений (в зависимости от значения, переданного в качестве третьего аргумента):

  1. Интегральное распределение Пуассона – числовое значение вероятности того, что известное количество случайных событий принадлежит диапазону 0;[x] (то есть, от 0 до x включительно).
  2. Функция весовых коэффициентов – числовое значение вероятности того, что количество произошедших событий точно равно числу x.

Для расчета плотности вероятности используется следующая формула:

Здесь x находится в диапазоне от 0 до бесконечности со знаком плюс.

    Функция распределения вероятностей (в целом) – зависимость F(x), которая в точке x принимает значение, соответствующее вероятности того, что некоторая случайная величина X будет меньше значения x), то есть F(x)=P(X Примечание: Распределение Пуассона неприменимо в следующих случаях:

  • события являются зависимыми;
  • непостоянство средней величины;
  • минимальная величина превышает значение 0.



Решение задачи на распределение Пуассона в Excel

Пример 1. Отдел технического контроля определил, что среднее число не соблюденных допусков в размерах производимых деталей составляет 6. Определить вероятности следующих событий обеими рассматриваемыми функциями (для сравнения результатов вычислений):

  1. Вероятность наличия 3 и менее погрешностей в случайно отобранной детали.
  2. Вероятность наличия ровно 3 погрешностей в случайно выбранной детали.

Вид таблицы данных:

Рассчитаем вероятность наличия трех и менее дефектов с помощью функций:

  • B3 – среднее значение;
  • B2 – предполагаемое значение, для которого рассчитывается вероятность;
  • ИСТИНА – указатель на интегральный тип функции.

Для нахождения вероятности выбора детали с наличием ровно трех дефектов используем функции:

Для расчета вероятности точного совпадения третий аргумент задан в качестве логического ЛОЖЬ.

Как видно, результаты вычислений обеих функций идентичны.

Биномиальное распределение Пуассона в Excel

Пример 2. На заводе по производству мониторов ожидается, что 5% изделий будут бракованными. Была взята выборка из 30 мониторов. Определить вероятность того, что 1 монитор из 30 окажется бракованным. Для решения использовать распределение Пуассона и биномиальное распределение, полученные результаты сравнить.

Вид таблицы данных:

Для определения вероятности события, при котором в выборке будет найден один бракованный монитор с использованием распределения Пуассона запишем функцию:

Произведение B4*B3 соответствует среднему ожидаемому значению (1,5). Полученный результат:

Для расчета с использованием биномиального распределения запишем функцию:

Как видно, для данной математической модели подходят оба метода определения вероятностей, поскольку полученные значения отличаются незначительно.

Распределение Пуассона зависит от одного параметра a. На рабочем листе Exсel предлагается построить графики распределения для различных значений параметра a = 1, 2, 3, 4, 5. Эти графики позволят заметить характерные особенности распределения и убедиться, что при увеличении параметра a распределение Пуассона приближается к предельному распределению Лапласа (или же к нормальному распределению Гаусса). Считается, что при a ³ 5 распределение уже практически нормальное. Распределение Пуассона является асимптотическим приближением для распределения Бернулли, если n >> 1, p > 1 означает "n – очень большое", а выражение p 2 P(m) – M 2 (m), если ограничиться диапазоном m, указанным правилом «3-х сигм».

Читайте также:  X xmax cos wt формула

Ниже приведен фрагмент рабочего листа таблицы Excel. Он оформлен по образцу рабочего листа с расчетами по формуле Бернулли, однако характеристики M и D теперь рассчитаны по диапазону (правило «3-х сигм»), поэтому они несколько меньше теоретических значений M = D = a. Последовательные значения вероятностей удобно вычислять по реккурентной формуле , где Р(0) = e – a (эти формулы приведены в строке 3 рабочего листа). Значимые по правилу 3-х сигм значения P(m) выделены серым фоном. Подготовив первый блок (столбцы А, В), копируем его несколько раз вправо и в копиях заменяем значение параметра на а = 2, 3, 4, 5. Практически все пересчитывается автоматически (за исключением характеристик M и D, где требуется вручную уточнять диапазоны).

A B C D E F G H I J
Распределение Пуассона
P(m)=e^(-a)*a^m/m!
P(m)=P(m-1)*a/m P(0)=e^(-a)
а = а = а = а = а =
M » 0,981012 M » 1,966873 M » 2,964286 M » 3,967471 M » 4,972735
D » 0,938326 D » 1,887672 D » 2,875715 D » 3,88483 D » 4,902264
M-3Sm= -2 M-3Sm= -2,24264 M-3Sm= -2,19615 M-3Sm= -2 M-3Sm= -1,7082
M+3Sm= M+3Sm= 6,242641 M+3Sm= 8,196152 M+3Sm= M+3Sm= 11,7082
m a=1 m a=2 m a=3 m a=4 m a=5
0,367879 0,135335 0,049787 0,018316 0,006738
0,367879 0,270671 0,149361 0,073263 0,033690
0,183940 0,270671 0,224042 0,146525 0,084224
0,061313 0,180447 0,224042 0,195367 0,140374
0,015328 0,090224 0,168031 0,195367 0,175467
0,003066 0,036089 0,100819 0,156293 0,175467
0,000511 0,012030 0,050409 0,104196 0,146223
7,3E-05 0,003437 0,021604 0,059540 0,104445
9,12E-06 0,000859 0,008102 0,029770 0,065278
1,01E-06 0,000191 0,002701 0,013231 0,036266
1,01E-07 3,82E-05 0,000810 0,005292 0,018133
9,22E-09 6,94E-06 0,000221 0,001925 0,008242
7,68E-10 1,16E-06 5,52E-05 0,000642 0,003434

Все подготовлено для построения графиков распределения Пуассона при различных значениях параметра а .

Из построенной диаграммы наглядно видно, что с увеличением параметра а распределение Пуассона действительно приближается к симметричному распределению Лапласа, и что при а = 5 распределение очень похоже на нормальное (см. также следующий раздел).

Поскольку заголовки столбцов из строки 13 переносятся в легенду, заголовок в ячейке В13 был задан формулой: ="a="&ТЕКСТ(В6;"0"); при копировании этот заголовок автоматически корректировался.

Для того, чтобы проверить, насколько распределение Пуассона является хорошим приближением для распределения Бернулли при a = np, скопируем с предыдущего рабочего листа несколько раз блоки с расчетами распределения Бернулли и заменим в новых блоках значения параметров: n = 10, 20, 30, 40, 50; p = a/n. Формулу для p набираем только один раз в ячейке N6, далее ее просто копируем. Фрагмент рабочего листа приведен ниже.

K L M N O P Q R S T U V
Пуассон Бернулли Бернулли Бернулли Бернулли Бернулли
n = n = n = n = n =
а = p = 0,1 p = 0,05 p = 0,03333 p = 0,025 p = 0,02
q = 0,9 q = 0,95 q = 0,96667 q = 0,975 q = 0,98
M = 0,98101 M = M = M = M = M =
D = 0,93833 D = 0,9 D = 0,95 D = 0,96667 D = 0,975 D = 0,98
M-3Sm= -2 M-3Sm= -1,8461 M-3Sm= -1,9240 M-3Sm= -1,9496 M-3Sm= -1,9623 M-3Sm= -1,9699
M+3Sm= M+3Sm= 3,84605 M+3Sm= 3,92404 M+3Sm= 3,94958 M+3Sm= 3,96226 M+3Sm= 3,96985
m Пуассон m n=10 m n=20 m n=30 m n=40 m n=50
0,36788 0,34868 0,35849 0,36166 0,36323 0,36417
0,36788 0,38742 0,37735 0,37413 0,37255 0,37160
0,18394 0,19371 0,18868 0,18707 0,18627 0,18580
0,06131 0,05740 0,05958 0,06021 0,06050 0,06067
0,01533 0,01116 0,01333 0,01401 0,01435 0,01455
0,00307 0,00149 0,00225 0,00251 0,00265 0,00273
0,00051 0,00014 0,00030 0,00036 0,00040 0,00042
7,3E-05 8,8E-06 3,1E-05 4,3E-05 4,9E-05 5,4E-05
9,1E-06 3,7E-07 2,7E-06 4,2E-06 5,2E-06 5,9E-06
1,0E-06 9E-09 1,9E-07 3,6E-07 4,8E-07 5,6E-07
1,0E-07 1E-10 1,1E-08 2,6E-08 3,8E-08 4,7E-08
Читайте также:  Готика 2 как воскресить персонажа

Теперь построим сравнительные графики распределений Пуассона и Бернулли при различных значениях n и a=np. Из этих графиков видно, что для а = 1 уже при n = 20 предельная формула Пуассона хорошо согласуется с исходной формулой Бернулли.

Можно поэкспериментировать, заменяя на рабочем листе значения параметра а, и наблюдая за соответствующими трансформациями графиков.

Распределение Пуассона: формула вероятности редких событий

Распределение Пуассона — случай биномиального распределения, когда число испытаний n достаточно большое, а вероятность p события A мала ().

Распределение Пуассона называют также распределением редких событий. Например, рождение за год трёх или четырёх близнецов, тот же закон распределения имеет число распавшихся в единицу времени атомов радиоактивного вещества и др.

Вероятность наступления редких событий вычисляется по формуле Пуассона:

,

где m число наступления события A;

— среднее значение распределения Пуассона;

e=2,7183 — основание натурального логарифма.

Закон Пуассона зависит от одного параметра — λ (лямбда), смысл которого в следующем: он является одновременно математическим ожиданием и дисперсией случаной величины, распределённой по закону Пуассона.

Условия возникновения распределения Пуассона

Рассмотрим условия, при которых возникает распределение Пуассона.

Во-первых, распределение Пуассона является предельным для биномиального распределения, когда число опытов n неограниченно увеличивается (стремится к бесконечности) и одновременно вероятность p успеха в одном опыте неограниченно уменьшается (стремится к нулю), но так, что их произведение np сохраняется в пределе постоянным и равным λ (лямбде):

.

В математическом анализе доказано, что распределение Пуассона с параметром λ = np можно приближенно применять вместо биномиального, когда число опытов n очень велико, а вероятность p очень мала, то есть в каждом отдельном опыте событие A появляется крайне редко.

Во-вторых, распределение Пуассона имеет место, когда есть поток событий, называемым простейшим (или стационарным пуассоновским потоком). Потоком событий называют последовательность таких моментов, как поступление вызовов на коммуникационный узел, приходы посетителей в магазин, прибытие составов на сортировочную горку и тому подобных. Пуассоновский поток обладает следующими свойствами:

  • стационарность: вероятность наступления m событий в определённый период времени постоянна и не зависит от начала отсчёта времени, а зависит только от длины участка времени;
  • ординарность: вероятность попадания на малый участок времени двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания на него одного события;
  • отсутствие последствия: вероятность наступления m событий в определённый период времени не зависит от того, сколько событий наступило в предыдущий период.
Читайте также:  Запуск последней удачной конфигурации windows 10

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона

Характеристики случайной величины, распределённой по закону Пуассона:

математическое ожидание ;

стандартное отклонение ;

дисперсия .

Распределение Пуассона и расчёты в MS Excel

Вероятность распределения Пуассона P(m) и значения интегральной функции F(m) можно вычислить при помощи функции MS Excel ПУАССОН.РАСП. Окно для соответствующего расчёта показано ниже (для увеличения нажать левой кнопкой мыши).

MS Excel требует ввести следующие данные:

  • x — число событий m;
  • среднее;
  • интегральная — логическое значение: 0 — если нужно вычислить вероятность P(m) и 1 — если вероятность F(m).

Решение примеров с распределением Пуассона

Пример 1. Менеджер телекоммуникационной компании решил рассчитать вероятность того, что в некотором небольшом городе в течении пяти минут поступят 0, 1, 2, . вызовов. Выбраны случайные интервалы в пять минут, подсчитано число вызовов в каждый их интервалов и рассчитано среднее число вызовов: .

Вычислить вероятность того, что в течении пяти минут поступят 6 вызовов.

Решение. По формуле Пуассона получаем:

Тот же результат получим, используя функцию MS Excel ПУАССОН.РАСП (значение интегральной величины — 0):

Вычислим вероятность того, что в течение пяти минут поступят не более 6 вызовов (значение интегральной величины — 1):

Решить пример самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 2. Производитель отправил в некоторый город 1000 проверенных, то есть исправных телевизоров. Вероятность того, что при транспортировке телевизор выйдет из строя, равна 0,003. То есть в этом случае действует закон распределения Пуассона. Найти вероятность того, что из всех доставленных телевизоров неисправными будут: 1) два телевизора; 2) менее двух телевизоров.

Продолжаем решать примеры вместе

Пример 3. В центр звонков клиентов поступает поток звонков с интенсивностью 0,8 звонков в минуту. Найти вероятность того, что за 2 минуты: а) не придёт ни одного звонка; б) придёт ровно один звонок; в) придёт хотя бы один звонок.

Решение. Случайная величина X — число звонков за 2 минуты с параметром — распределена по закону Пуассона. У нас есть всё, чтобы вычислить требуемые в условии задачи вероятности:

а) (так как 0! = 1 ).

б) .

в) .

Пример 4. Поток грузовых железнодорожных составов, прибывающих на сортировочную горку, имеет интенсивность 4 состава в час. Найти вероятности того, что за полчаса на горку прибудет: а) ровно один состав; б) хотя бы один состав; в) не менее трёх составов.

Решение. Случайная величина X — число составов за 0,5 часа с параметром — распределена по закону Пуассона. Вычисляем требуемые в условии задачи вероятности:

а) .

б) .

в) .

Ссылка на основную публикацию
Размер тетрадного листа в ворде
Сколько слов помещается на листе бумаги? Это зависит от типа документа, от пользователя, который создает этот документ, не говоря уже...
Пропал контакт в вайбере почему
Самое редкое явление, когда один или все контакты перестают отображаться в соответствующей вкладке Viber. Данная ошибка возникает по нескольким причинам...
Прописные английские буквы на клавиатуре
Как набрать прописные буквы на клавиатуре? Автор публикации Pin Chesnochny Достижение получено 11.09.2018 Любые прописные буквы набираются одними и теми...
Разница между box и oem процессор
Всё о Интернете, сетях, компьютерах, Windows, iOS и Android Чем отличается OEM от BOX процессора?! Выбирая в Интернет-магазине новый процессор,...
Adblock detector