Скалярное произведение в аффинной системе координат

Скалярное произведение в аффинной системе координат

Открытая библиотека для школьников и студентов. Лекции, конспекты и учебные материалы по всем научным направлениям.

Категории

Математика СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ВЕКТОРОВ

В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ

Пусть в пространстве задан базис и два произвольных вектора и . Тогда

Скалярные произведения базисных векторов представляют собой некоторые числа; обозначим их через

(9.1)

В силу свойства V1

(9.2)

(9.3)

. (9.4)

Или, в обозначениях Эйнштейна:

(9.4 ’ )

Алгебраическое выражение, стоящее в правой части соотношения (9.4), представляет собой однородный многочлен от двух наборов переменных – и , линœейный по каждому из этих наборов.

Вообще, однородные многочлены называют формами, а многочлены вида (4) – билинœейными формами.

Так как коэффициенты обладают свойством (9.2), то билинœейную форму (9.4) называют симметрической.

При (ᴛ.ᴇ. при и ) симметрическая билинœейная форма превращается в однородный многочлен второй степени от переменных :

. (9.5)

Многочлен (5) называют квадратичной формой. Вполне очевидно, что форма (5) однозначно определяет соответствующую симметрическую билинœейную форму (ᴛ.ᴇ. коэффициенты ).

Согласно свойству V4 при форма (5) обладает свойством

(9.6)

Такие квадратичные формы (а так же соответствующие им билинœейные симметрические формы) называют положительно определœенными.

Τᴀᴋᴎᴍ ᴏϬᴩᴀᴈᴏᴍ, скалярное произведение двух векторов является билинœейной симметрической положительно определœенной квадратичной формой их координат.

Иногда форму (5) (а также и форму (4)) называют метрической, т.к. с ее помощью можно вычислять (“мерить”) длину вектора:

. (9.7)

Числа определяют матрицу

, (9.8)

которая однозначно определяет как форму (4), так и форму (5), и наоборот.

Матрицу G называют метрической.

Положительная определœенность квадратичной формы накладывает на коэффициенты (следовательно, и на матрицу G) определœенные условия.

. (9.9)

¨ Требования (9.9) доказываются в курсе алгебры.

При n=2 система координат пространства E 2 имеет вид . Обозначим через угол между векторами и . Тогда

, (9.10)

(9.11)

Читайте также

Нелинейные операции над векторами Лекция 4 Задания для самостоятельной работы 1. Будут ли векторы и 3образовывать базис двумерного пространства и почему? 2. Будут ли векторы , и образовывать базис трехмерного пространства и почему? 3. Какие. [читать подробенее]

В АФФИННЫХ КООРДИНАТАХ Пусть в пространстве задан базис и два произвольных вектора и . Тогда Скалярные произведения базисных векторов представляют собой некоторые числа; обозначим их через (9.1) В силу свойства V1 (9.2) т.е. (9.3) Таким образом . (9.4) Или, в. [читать подробенее]

Читайте также:  Настройка яндекс почты в spark

Определение. Скалярным произведением двух векторов и называют число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: =. (8.1) Теорема 8.1. Скалярное произведение двух векторов и равно нулю векторы и перпендикулярны. Доказательство. Необходимость. Пусть. [читать подробенее]

Определение 1.Скалярным произведением (a, b) двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними: (a, b) = çaç×çbç×cos j . В координатной форме скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений. [читать подробенее]

Нелинейные операции над векторами Лекция 4 Углом между ненулевыми векторами и называется угол между лучами и , сонаправленными с векторами и соответственно и исходящими из одной точки О (рис. 10). Обозначение: . Два ненулевых вектора и называются взаимно. [читать подробенее]

Скалярным произведением векторов = (х1, х2, …, хп) и = (у1, у2, …, уп) называется число , равное сумме произведений соответствующих координат векторов и : . Скалярное произведение векторов обладает следующими свойствами: 1. = . 2. , . 3. . 4. 0, если , и , если . Линейная. [читать подробенее]

Векторы ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА Вектором называется направленный отрезок прямой или упорядоченная пара точек (про которые известно, какая первая – начало, какая вторая – конец). Обозначают: или . Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых. [читать подробенее]

Скалярным произведением двух векторов и в случае, если векторы ненулевые, называется произведение их модулей на косинус угла между ними. Если ненулевые векторы и коллинеарны и направлены в одну сторону, то угол между ними считается равным нулю, а если ненулевые векторы. [читать подробенее]

Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве

Пусть в пространстве фиксирована точка . Совокупность точки и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат :

– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) — это точка и ненулевой вектор на прямой (базис на прямой);

– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) — это точка и два неколпинеарных вектора , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);

– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) — это точка и три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).

Читайте также:  Как восстановить просмотр фотографий windows 7

Точка называется началом координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат . Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями .

Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.

Координаты векторов и точек в аффинной системе координат

Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).

Для любой точки в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки .

Координатами точки в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора в базисе , т.е. коэффициенты в разложении (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой , третья – аппликатой . На плоскости и на прямой координаты записывают в виде и согласно разложениям (рис.2.1,6), (рис.2.1,а). Координаты точки , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

Найдем координаты вектора с началом в точке и концом в точке . Рассмотрим треугольник (рис.2.2). Радиус-векторы и представляются в виде , . По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем , т.е. вектор имеет координаты . Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала . Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.

1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:

В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.

2. Если вектор с координатами отложить от точки , то конец вектора будет иметь координаты .

3. Координаты точки , которая делит отрезок в отношении , находятся по координатам его концов и :

В частности, координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка :

Координаты точки которая "делит" площадь треугольника в отношении 0,,eta>0,,gamma>0" png;base64,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" style="vertical-align: middle;" />, находятся по координатам его вершин :

Читайте также:  Вконтакте получатель заблокирован что значит

В частности, координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника :

Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины отрезка , или координаты точки пересечения медиан треугольника

Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды (см. рис.2.3): Найти координаты (в той же системе координат):

а) точки пересечения медиан треугольника ;

б) точки , которая делит отрезок в отношении .

Решение. Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, получаем:

Аффинная система координат (косоугольная система координат) — прямолинейная система координат в аффинном пространстве.

В -мерном пространстве она задаётся упорядоченной системой линейно независимых векторов , выходящих из одной точки . Аффинными координатами точки называют такие числа , что

Tочку и систему векторов называют репером или аффинным базисом; прямые, проходящие через вектора — координатными осями.

На аффинной плоскости координату называют абсциссой, а — ординатой точки . В пространстве же координаты точки называют её абсциссой, ординатой и аппликатой. Аналогичным образом именуют и координатные оси.

Связь между полярными и декартовыми координатами на плоскости. Примеры. (уравнения прямой и окружности).

Сферическая и цилиндрическая система координат в пространстве.

СНЯТ

Скалярное произведение векторов, простейшие свойства.

Углом между векторами a и b называется угол между равными им векторами, выходящими из одного начала.

Скалярным произведением векторов a и b называется произведение их длин на cos угла между векторами.

a b = |a||b|cos a (получается число)

1) ab = ba (коммутативность)

la b = |la| |b| cos a = |l| |a| |b| cos a = l (|a| |b| cos a) = l (ab)

Обозначим через — единичный вектор, параллельный прямой, содержащей , тогда ; ;

I. Рассмотрим левую часть (*)

II. Рассмотрим правую часть (*)

В двух предыдущих выкладках получаем одинаковые цифры, значит

Координатная форма скалярного произведения

z
y
x

Пусть в 3-х мерном пространстве задан базис, состоящий из единичных попарно взаимноперпендикулярных векторов

Пусть заданы 2 произвольных вектора:

;

;

Полученная формула изменилась бы, если бы базисные векторы имели длины, отличные от единицы, или не были бы взаимноперпендикулярные.

Ссылка на основную публикацию
Сервер smtp не настроен обратитесь к администратору
Я получаю ошибку SMTP с PHP Mailer и SMTP Outlook. Я запутался здесь, потому что он работает нормально на localhost...
Самая слабая видеокарта в мире
Источник: nvidia, amd, geforce gtx 280, geforce gtx 260, radeon hd 4850, radeon hd 4850 © 1997-2020 3DNews - Daily...
Самсунг дуос как сбросить до заводских настроек
Пошаговая инструкция, как выполнить сброс настроек (hard reset) на мобильных телефонах и планшетах Samsung Galaxy: J3, J5, J6, J7, S8,...
Символ примерно равно в ворде
Также статьи о работе с символами в Ворде: По тексту иногда приходится устанавливать различные математические знаки. Какие-то из них можно...
Adblock detector