Уравнение двух пересекающихся прямых

Уравнение двух пересекающихся прямых

Если точка M, является точкой пересечения двух прямых, то она должна принадлежать этим прямым, а ее координаты удовлетворять уравнения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых на плоскости

Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны между собой)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = -3 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (-3 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = 5 x — 2 y = -3 x + 1

Из первого уравнения найдем значение x

5 x = 2 y = -3 x + 1 => x = 2 5 = 0.4 y = -3 x + 1

Подставим значение x во второе уравнение и найдем значение y

x = 0.4 y = -3·(0.4) + 1 = -1.2 + 1 = -0.2

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты (0.4, -0.2)

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

y = 2 x — 1 x = 2 t + 1 y = t

В первое уравнение подставим значения x и y из второго и третьего уравнений.

t = 2·(2 t + 1) — 1 x = 2 t + 1 y = t => t = 4 t + 1 x = 2 t + 1 y = t =>

-3 t = 1 x = 2 t + 1 y = t => t = — 1 3 x = 2 t + 1 y = t

Подставим значение t во второе и третье уравнение

t = — 1 3 x = 2·(- 1 3 ) + 1 = — 2 3 + 1 = 1 3 y = — 1 3

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 1 3 , — 1 3 )

Решение: Для вычисления координат точки пересечения прямых, решим систему уравнений:

2 x + 3 y = 0 x — 2 3 = y 4

Из второго уравнения выразим y через x

2 x + 3 y = 0 y = 4· x — 2 3

Подставим y в первое уравнение

2 x + 3·4· x — 2 3 = 0 y = 4· x — 2 3 => 2 x + 4·( x — 2) = 0 y = 4· x — 2 3 =>

2 x + 4 x — 8 = 0 y = 4· x — 2 3 => 6 x = 8 y = 4· x — 2 3 =>

x = 8 6 = 4 3 y = 4· x — 2 3 => x = 8 6 = 4 3 y = 4· 4/3 — 2 3 = 4· -2/3 3 = — 8 9

Ответ. Точка пересечения двух прямых имеет координаты ( 4 3 , — 8 9 )

Решение: Обе прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом. Так как k 1 = k 2 = 2, то прямые параллельны. Так как эти прямые не совпадают то точек пересечения нет.

Решим также эту задачу используя систему уравнений:

y = 2 x — 1 y = 2 x + 1

Вычтем из первого уравнения второе

y — y = 2 x — 1 — (2 x + 1) y = -3 x + 1 => 0 = -2 y = -3 x + 1

В первом уравнении получили противоречие (0 ≠ -2), значит система не имеет решений — отсутствуют точки пересечения прямых (прямые параллельны).

Ответ. Прямые не пересекаются (прямые параллельны).

Решение: Подставим координаты точки N в уравнения прямых.

Ответ. Так как оба уравнения превратились в тождества, то точка N — точка пересечения этих прямых.

Точка пересечения двух прямых в пространстве

Если система уравнений:

  • имеет единственное решение, то прямые пересекаются;
  • имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают;
  • не имеет решений, то прямые не пересекаются (прямые параллельны или скрещиваются между собой)

Решение: Составим систему уравнений

x — 1 = a y — 1 = a z — 1 = a x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 x — 3 -2 = b 2 — y = b z = b =>

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

Читайте также:  Метод неопределенных коэффициентов дискретная математика

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a + 1 — 3 -2 = b 2 — ( a + 1) = b a + 1 = b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 = b

К шестому уравнению добавим пятое уравнение

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b a + 1 + (1 — a ) = b + b => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = b 1 — a = b b = 1

Подставим значение b в четвертое и пятое уравнения

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 -2 = 1 1 — a = 1 b = 1 => x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a — 2 = -2 a = 0 b = 1 =>

x = a + 1 y = a + 1 z = a + 1 a = 0 a = 0 b = 1 => x = 0 + 1 = 1 y = 0 + 1 = 1 z = 0 + 1 = 1 a = 0 a = 0 b = 1

Ответ. Прямые пересекаются в точке с координатами (1, 1, 1).

Решение: Составим систему уравнений заменив во втором уравнении параметр t на a

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 x = a + 1 y = 3 a — 2 z = 3

Подставим значения x , y , z из 1, 2, 3 уравнений в 4, 5, 6 уравнения

x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t — 3 = a + 1 t = 3 a — 2 — t + 2 = 3 => x = 2 t — 3 y = t z = — t + 2 2 t = a + 4 t = 3 a — 2 t = -1 =>

Подставим значение t из шестого уравнения в остальные уравнения

x = 2·(-1) — 3 y = (-1) z = -(-1) + 2 2·(-1) = a + 4 -1 = 3 a — 2 t = -1 => x = -5 y = -1 z = 3 a = -6 a = 1 3 t = -1

Ответ. Так как -6 ≠ 1 3 , то прямые не пересекаются.

Пусть в канонических уравнениях прямой

коэффициент отличен от нуля, т. е. прямая не параллельна плоскости хОу. Запишем эти уравнения раздельно в таком виде:

При нашем условии уравнения (6) вполне определяют прямую. Каждое из них в отдельности выражает плоскость, причем первая из них параллельна оси Оу, а вторая — оси

Таким образом, представляя прямую линию уравнениями вида (6), мы рассматриваем ее как пересечение двух плоскостей, проектирующих эту прямую на плоскости координат xOz и yOz. Первое из уравнений (6), рассматриваемое в плоскости определяет проекцию данной прямой линии на эту плоскость; точно так же второе из уравнений (6), рассматриваемое в плоскости определяет проекцию данной прямой линии на плоскости yOz. Итак, можно сказать, что дать уравнения прямой линии в виде (6) — это значит дать ее проекции на плоскости координат хOz и yOz.

Если бы направляющий коэффициент был ранен нулю, то обязательно хотя бы один из двух других коэффициентов, например , был бы отличен от нуля, т. е. прямая не была бы параллельна плоскости yOz. В этом случае мы могли бы выразить прямую

уравнениями плоскостей, проектирующих ее на координатные плоскости записав уравнения (5) в виде

Таким образом, любая прямая может быть выражена уравнениями двух плоскостей, проходящих через нее и проектирующих ее на координатные плоскости. Но определять прямую совсем не обязательно именно такой парой плоскостей.

Через каждую прямую проходит бесчисленное множество плоскостей. Любые две из них, пересекаясь, определяют ее в пространстве. Следовательно, уравнения любых двух таких плоскостей, рассматриваемые совместно, представляют собой уравнения этой прямой.

Вообще всякие две не параллельные между собой плоскости с общими уравнениями

Читайте также:  В какой программе можно нарисовать схему

определяют прямую их пересечения.

Уравнения (7), рассматриваемые совместно, называются общими уравнениями прямой.

От общих уравнений прямой (7) можно перейти к ее каноническим уравнениям. Для этой цели мы должны знать какую-нибудь точку прямой и направляющий вектор.

Координаты точки легко найдем из данной системы уравнений, выбирая одну из координат произвольно и решая после этого систему двух уравнений втносителыю оставшихся двух координат.

Для отыскания направляющего вектора прямой заметим, что этот вектор, направленный по линии пересечения данных плоскостей, должен быть перпендикулярным к обоим нормальным векторам этих плоскостей. Обратно, всякий вектор, перпендикулярный к параллелен обеим плоскостям, а следовательно, и данной прямой.

Но векторное произведение также обладает этим свойством. Поэтому за направляющий вектор прямой можно принять векторное произведение нормальных векторов данных плоскостей.

Пример 1. Привести к каноническому виду уравнения прямой

Выберем произвольно одну из координат. Пусть, иапример, . Тогда

откуда Итак, мы нашли точку (2, 0, 1), лежащую на прямой,

Находя теперь векторное произведение векторов получаем направляющий вектор прямой Поэтому канонические уравнения будут:

Замечание. От общих уравнений прямой вида (7) можно перейти к каноническим, и не прибегая к векторному методу.

Предварительно остановимся несколько подробнее на уравнениях

Выразим из них х и у через . Тогда получим:

Уравнения (6) называются уравнениями прямой в проекциях на плоскости

Установим геометрический смысл постоянных М и N: М представляет собой угловой коэффициент проекции данной прямой на плоскость координат (тангенс угла этой проекции с осью Oz), а N есть угловой коэффициент проекции данной прямой на плоскость координат (тангенс угла этой проекции с осью Oz). Таким образом, числа определяют направления проекций данной прямой линии на две плоскости координат, а значит, они характеризуют и направление самой данной прямой. Поэтому числа М и N называют угловыми коэффициентами данной прямой.

Чтобы выяснить геометрический смысл постоянных положим в уравнениях (6) прямой линии тогда получим: т. е. точка лежит на данной прямой. Очевидно, эта точка есть точка пересечения данной прямой с плоскостью Итак, суть координаты следа данной прямой линии на плоскости координат

Теперь легко сделать переход от уравнений в проекциях к каноническим. Пусть, например, даны уравнения (6). Решая эти уравнения относительно , найдем:

откуда непосредственно получаем канонические уравнения в виде

Пример 2. Привести канонические уравнения прямой

к уравнениям в проекциях на плоскости

Данные уравнения переписываем в виде

Решая первое из этих уравнений относительно х, а второе относительно у, найдем искомые уравнения в проекциях:

Читайте также:  Игра соул калибур 6

Пример 3. Привести уравнения в ппоекциях

к каноническому виду.

Решая данные уравнения относительно , получим:

Пример 4. Принести уравнения в проекциях

к каноническому виду.

Переписав систему уравнений в виде

Уравнения в проекциях можно получить и из общих уравнений прямой (7), решая общие уравнения относительно каких-нибудь двух координат, например х и у, если прямая параллельна плоскости хОу, то привести уравнения (7) к уравнениям (6) не удастся, но тогда можно привести уравнения (7) к уравнениям в проекциях на другую пару координатных плоскостей.

Если требуется общие уравнения прямой привести к каноническим, то можно предварительно перейти к уравнениям в проекциях.

Пример 5. Привести уравнения прямой

к каноническому виду.

Решая данные уравнения относительно х и у, найдем уравнения в проекциях

Выражаем из этих уравнений :

и получаем каноническне уравнения

Умножив каждым из направляющих коэффициентов на — 5, получим более простой вид канонических уравнений:

Определяем уравнение прямой в пространстве если нам известны общие уравнения двух плоскостей.

Обновление от 13 октября 2019 года: Используется алгоритм описанный в статье ФРС. Фундаментальное решение системы уравнений

Если первая плоскость задана уравнением вида

а другая плоскость уравнением вида

и они перескаются, то уравнение полученной прямой можно найти по двум точкам, принадлежащих одновременно этим плоскостям.

Прямая в пространстве, проходящая через две точки и может быть представлена в виде канонического уравнения

B приницпе этого достаточно что бы решить уравнение. Положим что z=0 ( можно брать любое число, но с нулем оно как то удобнее) тогда уравнения плоскости приобретают вид

Получили систему линейных уравнений которая легко решается.

Определили таким образом точку

Теперь пусть z=1 и решаем систему

и получаем вторую точку

Эти две точки принадлежат обеим плоскостям и значит уравнение прямой имеет вид

Есть еще второй способ, использующий вектора. Рассмотрим и его.

Если известна точка в пространстве и направляющий вектор

то уравнение прямой имеет вид

Узнав координаты точки ( например по выше приведенному решению) нам осталось узнать направляющий вектор.

и подставив вычисленные значения в уравнение

мы узнаем уравнение прямой в пространстве, как пресечение двух плоскостей.

Созданный онлайн калькулятор позволяет автоматически находить уравнение прямой по двум заданным общим уравнениям плоскостей.

Условие параллельности плоскостей

Две плоскости заданные уравнениями вида

лишь тогда параллельны, когда верным становится соотношение

Ссылка на основную публикацию
Ударные головки для пневмогайковерта
На сайте продавца доступен "Онлайн консультант".Для перехода на сайт нажмите "В магазин" На сайте продавца доступен бесплатный номер 8-800.Для перехода...
Топ лучших электрических чайников
Выбор электрического чайника может стать непростой задачей. Разнообразие моделей ставит перед покупателем вопрос, какой прибор наилучшим образом справится со своим...
Топ медиаплееров для телевизора 2018
Рейтинг 2018 года Полезная статья Актуально сейчас Apple TV 4K 32GB Видео Приставка подойдёт многим, не только «яблочникам», ведь это...
Удлинитель для роутера wifi провод
Wi-Fi удлинитель — специальное устройство, работающее по принципу стандартной антенны, которая помогает обогнуть препятствия для сигнала. Удлинитель вай-фай можно использовать...
Adblock detector