Вывод уравнения цепной линии

Вывод уравнения цепной линии

Цепна́я ли́ния — линия, форму которой принимает гибкая однородная нерастяжимая тяжёлая нить или цепь (отсюда название) с закреплёнными концами в однородном гравитационном поле. Является плоской трансцендентной кривой.

operatorname >

(о функции ch <displaystyle operatorname > см. гиперболический косинус).

Все цепные линии похожи друг на друга; изменение параметра a эквивалентно равномерному масштабированию графика функции. Параметр x по горизонтальной оси рассчитывается от самой низкой точки на оси ординат цепной линии.

Содержание

Свойства [ править | править код ]

  • Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.
  • Длина дуги от вершины до произвольной точки (x, y): s = a sh ⁡ x a = y 2 − a 2 <displaystyle s=a

operatorname =<sqrt <2>-a^<2>>>>
Радиус кривизны: R = a ch 2 ⁡ x a = y 2 a <displaystyle R=a

operatorname ^<2>= <2>over a>>

  • Площадь, ограниченная цепной линией, двумя её ординатами и осью абсцисс: S = a 2 ( sh ⁡ x 2 a − sh ⁡ x 1 a ) = a ( y 2 2 − a 2 − y 1 2 − a 2 ) . <displaystyle S=a^<2>left(operatorname
  • <2>over a>-operatorname <1>over a>
    ight)=aleft(<sqrt
    <2>^<2>-a^<2>>>-<sqrt <1>^<2>-a^<2>>>
    ight).>

  • Траектория фокуса параболы, катящейся по прямой, есть цепная линия[1] .
  • Применения [ править | править код ]

    Арка [ править | править код ]

    Перевёрнутая цепная линия — идеальная форма для арок. Однородная арка в форме перевёрнутой цепной линии испытывает только деформации сжатия, но не изгиба.

    На арке «Ворота Запада» в Сент-Луисе написана формула её цепной линии в футах : [2]

    y = − 127 , 7 ′ ⋅ ch ⁡ ( x / 127 , 7 ′ ) + 757 , 7 ′ <displaystyle y=-127<,>7^<prime >cdot operatorname (7^<prime >>)+757<,>7^<prime >>

    y = − 38 , 92 ⋅ ch ⁡ ( x / 38 , 92 ) + 230 , 95 <displaystyle y=-38<,>92cdot operatorname (92>)+230<,>95>

    Мосты [ править | править код ]

    Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии.

    Стоит заметить, что форма тросов подвесного моста ближе к параболе, чем к цепной линии [3] . Это связано с тем, что основная нагрузка распределена в пролёте моста, а не в тросах.

    История [ править | править код ]

    Уравнение цепной линии практически одновременно получено Лейбницем, Гюйгенсом и Иоганном Бернулли [4] .

    Галилео Галилей в 1638 году написал в своей книге «Беседы и математические доказательства…», что цепь, висящая на двух гвоздях, принимает форму параболы. Он был уверен в этом и, возможно, поэтому не «докопался» до истины и не открыл новую кривую – цепную линию. Эту кривую 50 пет спустя описали Гюйгенс, Лейбниц и Якоб Бернулли. Они первыми вывели формулу кривой и исследовали её свойства.

    На рисунке 1 изображены три кривые.

    На известном научно-популярном сайте «Математические этюды» в этюде «Цепная линия» рассказывается об этой кривой: «Если некоторым образом подобрать параметр в уравнении, то центр квадрата, катящегося без проскальзывания по дуге цепной линии, будет двигаться ровно по прямой!». Какую цель нужно достичь, понятно, а вот как это сделать, данная фраза если не умалчивает, то, по крайней мере, предлагает не самый рациональный путь. В чём заключается этот «подбор некоторым образом»? Ну, допустим, подобрали, и что дальше? Решать уравнение и строить кривую? А если изменится размер колеса, то снова подбирать, решать и строить? А может, эти слова означают «Суть способа не раскрывается, ноу-хау»?

    Предлагаю иной способ решения этой задачи:

    1. Построим по формуле Y=a chX/a цепную линию с произвольным параметром a, например, равным 10 мм (рис. 2);
    2. На расстоянии от вершины, равном a(√2-1), проведём горизонтальную хорду. Измерим длину дуги, стягиваемой хордой. Она должна быть равна 2a;
    3. Скопируем построенную кривую в новый фрагмент, отсечём отрезки, выходящие за пределы сегмента и повернём его на 180°. Этот сегмент и будет частью «дороги» для квадратного колеса;
    4. Построим квадрат со стороной 2a;
    5. Прокатывая квадрат по сегменту цепной линии, убеждаемся в отсутствии вертикальных перемещений его центра.

    Кстати, кривая, показанная на рисунке 2, построена всего по 69 точкам и, не смотря на это, обладает неплохой точностью: дуга, отсекаемая хордой, имеет размер 19.9999634224 мм при расчётном размере 20 мм.

    А что же с другими многоугольниками? Для всех их (кроме треугольника) можно построить собственную «брусчатку» из сегментов цепной линии, по которой они прокатятся без колебания центра. Порядок построения несколько иной, чем для квадрата: также используется ранее построенная цепная линия (рис. 2), но положение хорды определяется касательными к кривой (для шестиугольника, например, под углами 30 и -30 градусов), а размер стороны многоугольника определяется измерением дуги сегмента. Это связано с тем, что только для квадрата свойственна зависимость: сторона равна удвоенному параметру цепной линии.

    Ещё было интересно посмотреть, что покажут другие кривые в качестве «брусчатки» для квадратных колёс. Были проверены: окружность, парабола, овал Кассини и несколько овалов стабильной формы. Как и ожидалось, «идеальных» больше нет. Результаты построений и расчётов взаимодействия квадратного колеса со стороной 400 мм с некоторыми кривыми сведены в таблицу 1.

    Читайте также:  Что за связь мтт

    Как организовать дистанционное обучение во время карантина?

    Помогает проект «Инфоурок»

    В качестве темы исследовательской работы мной была выбрана следующая: «Цепная линия». Кривая цепная линия очень интересна для изучения, однако не так уж просто найти литературу посвященную ей.

    Исследованием этой линии занимались ученые очень давно. Однако даже в наше время она используется при решении ряда задач не только в математике, но и физике, архитектуре и многих других дисциплин. По моему мнения, данная тема является интересной и актуальной.

    Изучением цепной линии занимались такие ученые, как Галилео Галилей, Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц, Иоганн Бернули и др.

    Целью данной исследовательской работы является описание основных свойств цепной линии.

    Для реализации поставленной цели были сформулированы следующие задачи:

    1. Проанализировать научную и учебную литературу по теме исследования с целью выделения основных понятий и утверждений;

    2. Систематизировать и обобщить материал по теме исследования с целью выделения групп свойств цепной линии;

    3. Доказать необходимые утверждения в теме исследования;

    4. Установить связь темы исследования и курса дифференциальной геометрии;

    5. Разработать компьютерную презентацию на тему: «Цепная линия».

    Основным методом исследования стал теоретический анализ

    литературы в рамках исследования;

    Практическая значимость определяется возможностью использования результатов данного исследования в учебном процессе в рамках дисциплин «Геометрия» и «Дифференциальная геометрия».

    В книге Галилея “Беседы и математические доказательства…”, напечатанной впервые на итальянском языке в голландском городе Лейдене в 1638г., предлагался, между прочим, такой способ построения параболы: “Вобьём в стену два гвоздя на одинаковой высоте над горизонтом и на таком расстоянии друг от друга, чтобы оно равнялось двойной ширине прямоугольника, на котором желательно построить полупараболу; между одним и другим гвоздём подвесим тонкую цепочку, которая свешивалась бы вниз и была такой длины, чтобы самая низкая точка её находилась от уровня гвоздя на расстоянии, равном высоте прямоугольника. Цепочка эта, свисая, расположится в виде параболы(рис. 1), так что, отметив её след на стене пунктиром, мы получим параболу, рассекаемую пополам перпендикуляром, проведённым через середину линии, соединяющей оба гвоздя”.[2]

    Рис.1
    Способ этот прост и нагляден, но не точен. Это понимал и сам Галилей. На самом деле, если параболу построить по всем правилам, то между нею и цепочкой обнаружатся зазоры.
    Только через полвека после выхода книги Галилея старший из двух братьев-математиков Бернулли — Якоб нашёл чисто теоретическим путём точную формулу провисающей цепочки. Не спеша сообщать своё решение задачи, он бросил вызов другим математикам. Правильное решение опубликовали уже в следующем 1691г. Христиан Гюйгенс, Готфрид Вильгельм Лейбниц и младший брат Якоба — Иоганн Бернулли. Все они пользовались для решения задачи, во-первых, законами механики, а во-вторых, могучими средствами недавно разработанного тогда математического анализа — производной и интегралом.
    Гюйгенс назвал кривую, по которой располагается цепочка, подвешенная за два конца, цепной линией.
    Так как цепочки бывают разной длины, да и концы их могут подвешиваться на разных расстояниях друг от друга — то ближе, то дальше, то и цепных линий существует не одна, а много. Но все они подобны между собой, как, например, подобны между собой любые окружности.

    2. Понятие цепной линии и её уравнение

    Определение 1. Цепной линией называется плоская кривая, форма которой соответствует однородной гибкой нерастяжимой тяжелой нити, закрепленной в обоих концах и провисающей под действием силы тяжести.
    Цепная линия по форме напоминает параболу.

    Так считалось долгое время. В начале 17 века Галилео Галилей высказал сомнение, что висящая цепь в действительности является параболой. Однако строгое доказательство и точный вывод были получены лишь полвека спустя − после того, как Исаак Ньютон Готфрид Вильгельм Лейбниц разработали основы математического анализа.

    Решение задачи о цепной линии было опубликовано в 1691 году Христианам Гюйгенсом , Готфридом Вильгельмом Лейбницем и Иоганном Бернулли .

    Ниже мы рассмотрим вывод уравнения цепной линии и некоторые его вариации.

    Пусть тяжелая однородная нить подвешена в точках А, В , которые могут находиться на разной высоте (рис.1.2).

    Рассмотрим равновесие произвольного малого элемента нити длиной Δ s .

    На этот элемент действуют распределенная сила тяжести , где − объемная плотность материала нити, − ускорение свободного падения, A − площадь поперечного сечения нити, и силы натяжения T ( x ) и T ( x+ Δ x ), соответственно, вточках x и ( x+ Δ x ).

    Условия равновесия выделенного элемента длиной Δ s в проекциях на оси Ox и Oy записываются в виде:

    Из первого уравнения видно, что горизонтальная компонента силы натяжения T ( x ) всегда постоянна:

    Читайте также:  Нельзя создавать переменные с пустым именем сбис

    Переходя во втором уравнении к дифференциалам, можно записать его в виде:

    Поскольку , то получаем

    Учтем, что , так что уравнение равновесия записывается в дифференциальном виде как

    Элемент длины Δ s можно выразить по формуле

    В результате получаем дифференциальное уравнение цепной линии :

    Это уравнение допускает понижение порядка. Обозначив y’ = z , представим его в виде уравнения первого порядка:

    Последнее уравнение решается методом разделения переменных.

    Здесь мы обозначили через 1/ a .

    Касательная к цепной линии в нижней точке параллельна оси Ox . Следовательно,

    Отсюда определим константу C 1 :

    Итак, мы имеем следующее уравнение:

    Умножим обе части данного уравнения на сопряженное выражение

    Складывая с предыдущим уравнением, находим выражение для z = y’ :

    Интегрируем еще раз и получаем окончательное красивое выражение для формы цепной линии:

    Итак, цепная линия описывается гиперболическим косинусом . Ее форма однозначно определяется параметром , зависимость от которого показана на рис.1.3.

    3. Свойства цепной линии

    1. Длина дуги (приложение 1) цепной линии от ее вершины до некоторой точки равна проекции ординаты этой точки на касательную, проведенную в этой точке.

    1.Длина s дугицепной линии, отсчитываемой от вершины А, равна проекции ММ′ ординаты РМ на касательную МТ .( рис .3)

    2. S== MM′= ((1) или s = a.

    3. С ординатой РМ=у дуга связана соотношение. 4. Последнее вытекает из уравнения цепной линии и (1) и

    легко прочитывается из треугольника РМ′М , где РМ = у , ММ′ = s и РМ′ = a (по основному свойству трактрисы).

    2. Радиус кривизны (приложение 1) в произвольной точке цепной линии равен длине нормали в этой точке.

    1. Радиус кривизны МК = R цепной линии равен отрезку MD нормали от точки М до директрисы Х′Х и выражается формулой

    3. Если цепная линия катится по прямой, то центр кривизны, соответствующий точке касания, перемещается по параболе.

    1. Определяя площадь, ограниченную цепной линией, двумя ее ординатами и осью абсцисс, будем иметь:

    4. Площадь, ограничиваемая цепной линией, двумя ординатами и осью абсцисс, пропорциональна длине соответствующей дуги.

    1. Площадь S «криволинейной трапеции» OAMP ( OA = a — ордината вершины, РМ — ордината конца М дуги s = ) равна площади прямоугольника со сторонами a , s так что

    5. Сумма кривизн цепной линии в точках, касательные в которых взаимно перпендикулярны, является для каждой цепной линии величиной постоянной.

    1. Пусть -точки цепной линии, касательные в которых взаимно перпендикулярны. Определяя их угловые коэффициенты, имеем

    2.В силу перпендикулярности касательных (2),

    где — длины дуг, отсчитываемые от вершины цепной линии до точек Подставляя эти выражения в равенство (2) получаем,

    3. Далее, если равенство (2) привести к виду

    то на основании R = a будем иметь .

    6. Мыльная плёнка, натянутая на два кольца, принимает форму катеноида — поверхности, возникающей в результате вращения цепной линии.

    4. Исследование цепной линии, заданной параметрически, методом дифференциальной геометрии

    Любая линия в дифференциальной геометрии рассматривается в пространстве, может быть задана векторным уравнение от одного скалярного аргумента, неявного уравнения вида F ( x , y )=0, пересечением двух поверхностей, , полярным уравнением.

    Метод дифференциальной геометрии позволяет исследовать линию на предмет:

    определение элементов сопровождающих линии трехгранника;

    определение кривизны и кручения;

    написание натурального уравнения линии;

    вычисление длины дуги линии;

    Удобнее метод дифференциальной геометрии применять к параметрическим уравнениям, линии которых непосредственно следует из векторного уравнения от одного скалярного аргумента.

    Исследуем цепную линию методом дифференциальной геометрии.

    от неявного уравнения перейдем к параметрическим;

    3) найдем базисные векторы, сопровождающего трехгранника кривой;

    4) напишем уравнение элементов сопровождающего трехгранника кривой:

    уравнение соприкасающейся плоскости;

    уравнение нормальной плоскости;

    уравнение спрямляющейся плоскости;

    5) найдем кривизну и кручение цепной линии в произвольной точке;

    6) напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации.

    Итак, уравнение цепной линии имеет вид

    — параметрическое уравнение цепной линии.

    Линия лежит в плоскости XOY , z =0 .

    1.Определим, какая параметризация: естественная или произвольная.

    Найдем производные по t :

    2.Найдем векторы первой, второй и третьей производной.

    3.Найдем базисные векторы сопровождающего трехгранника:

    единичный вектор касательной.

    — единичный вектор бинормали.

    единичный вектор главной нормали.

    4.Напишем уравнения элементов сопровождающего трехгранника:

    a ) Уравнение касательной (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

    b ) Уравнение главной нормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

    c ) Уравнение бинормали (приложение 1) к цепной линии в произвольной точке имеет вид:

    e )Уравнение соприкасающейся плоскости:

    Так как z =0 , плоскость OXY — соприкасающаяся плоскость.

    f ) Уравнение нормальной плоскости (приложение 1)

    g ) Уравнение спрямляющей плоскости:

    5.Найдем кривизну k (приложение 1) и кручение (приложение 1) :

    6.Напишем уравнение цепной линии в естественной параметризации:

    Таким образом, результаты исследования свойств цепной линии методами дифференциальной геометрии позволили доказать следующие свойства цепной линии как плоской линии:

    Читайте также:  Исп отраб черный картридж что делать hp

    Теорема 1. Соприкасающаяся плоскость плоской линии совпадает с плоскостью линии. (см. уравнение соприкасающейся плоскости цепной линии п.4( e )).

    Теорема 2. Главная нормаль плоской линии лежит в плоскости линии. (см. уравнение главной нормали цепной линии п.4( b )).

    Теорема 3. Кручение плоской линии во всех точках равна нулю.(см. кручение цепной линии п.5)

    Докажем теорему, обратную теореме 3.

    Теорема 4 . Если во всех точках гладкой линии кручение равно нулю, то линия плоская.

    1. Пусть в каждой точке линии γ, заданной уравнениями , ее кручение равно нулю.

    2. Из последней формулы Френе следует, что где не зависит от переменной s . Тогда из тождества , отсюда или в координатах: , где , – координаты.

    3. Таким образом, все точки γ лежат в плоскости, заданной уравнением . Это означает, что γ – плоская линия.

    Замечание. Для плоской линии имеем х = 0 , поэтому формулы Френе принимают вид:

    Результаты исследования свойств цепной линии можно отобразить в чертеже.

    Oxy соприкасающаяся плоскость

    Неизвестно, пытался ли кто-нибудь до Гауди делать перевернутые модели будущих зданий, подвешивая грузы на нитках. Но этим способом воспользовались некоторые современные архитекторы. На берегу реки Миссисипив городе Сент-Луисе стоит импозантная арка (GatewayArch) высотой в 630 футов, что соответствует 192 м, символизирующая поворотный пункт в американской истории и географии. Сент-Луис в свое время соединил относительно обжитые земли к востоку от Миссисипи с дикими бескрайними пространствами Запада.

    Эта арка была спроектирована одним из самых известных архитекторов США Эро Саариненом (Eero Saarinen, 1910–1961) в сотрудничестве с математиком и инженером Ганнскарлом Банделем ( Hannskarl Bandel , 1925–1993). В каком-то смысле их судьбы схожи: и Сааринен, и Бандель родились за пределами Америки — первый в Финляндии , второй — в Германии . Потом оба пересекли океан: первый — отправляясь в 1934 году учиться, а второй — уже после войны, в поисках работы. Тут каждый из них нашел свою удачу, а оба они — друг друга.

    По подсказке Банделя Сааринен выбрал для своей арки форму цепной линии, высота которой равнялась ширине у основания. Получилось красиво, хотя конструкция до какой-то степени противоречила интуиции. Ведь цепочка, будучи предоставленной сама себе, стремится занять такое положение в пространстве, чтобы ее потенциальная энергия была минимальной, то есть центр тяжести располагался предельно низко. При переворачивании низкий центр тяжести окажется высоким, а минимум энергии обернется максимумом.

    Противоречие тут кажущееся. В задачу архитектора вовсе не входит достижение энергетического минимума конструкции — нужно, чтобы она была устойчивой. И хотя, безусловно, минимуму потенциальной энергии соответствует положение устойчивого равновесия, это положение не единственное. Еще одно положение равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии, что мы и наблюдаем при перевороте цепной линии, а также при обобщении метода, использованного Гауди.

    Причины равновесия можно оценить, анализируя не энергию, а распределение сил. Как известно, если удается получить информацию о силах, то картинка всегда оказывается более подробной и ясной, чем та, которую можно получить, занимаясь только энергиями. У подвешенной цепочки на каждое отдельное звено действуют три силы: сила тяжести и сила упругих деформаций со стороны двух ближайших соседей. Равновесие достигается в том случае, когда сумма всех трех сил равна нулю.

    Подвижность цепочки гарантирует, что упругие силы на концах каждого звена лишь растягивают его, то есть всегда направлены по касательной к линии.

    Разумеется, ничего не изменится, если вместо цепочки подвесить твердую арку той же формы: напряжения, вызываемые в ней силой тяжести, будут распределены так, что силы всегда будут действовать по касательной.

    Они будут растягивать арку, но нигде не будут пытаться ее сломать. Если теперь арку перевернуть, то опять почти ничего не изменится. Всего лишь растяжение сменится сжатием, однако действовать оно в каждой точке арки будет только по касательной. Или, что то же самое, нагрузка на поперечном сечении, проведенном в произвольной точке арки, будет перпендикулярна плоскости сечения. Особенно странно этот вывод выглядит для самой верхней точки: площадка поперечного сечения там вертикальна, и сила, действующая на нее, перпендикулярна силе тяжести.

    На каждое звено цепи действует по три силы: натяжение со стороны соседей и сила тяжести. При уменьшении размеров звена,

    сила тяжести стремится к нулю, а силы натяжения к нулю не стремится, они просто становятся параллельными друг другу.

    Горбатый мост имеет форму, близкую к цепной линии. Стоит заметить, что цепь подвесного моста ближе к параболе , чем к цепной линии. Это связано с тем, что пролёт моста намного тяжелее цепи. [4]

    Ссылка на основную публикацию
    Видеокарта amd radeon hd 7600m series характеристики
    Видеокарта AMD Radeon HD 7600m Series относится к классу мобильных графических адаптеров, предназначенных для установки на бюджетных геймерских ноутбуках. С...
    Безмолвные монахи в доме гарета
    Похороненное прошлое – это побочный квест в Divinity: Original Sin 2. На борту Госпожи Мести Гарет рассказал нам, что собирался...
    Блок схема пирамидальной сортировки
    Метод пирамидальной сортировки, изобретенный Д. Уилльямсом, является улучшением традиционных сортировок с помощью дерева. Пирамидой ( кучей ) называется двоичное дерево...
    Вкладка источник бумаги в ворде
    Посетителей: 186186 | Просмотров: 206653 (сегодня 32) Шрифт: Параметры страницы предназначены для того, чтобы задать документу желаемый вид. Это актуально...
    Adblock detector