X xmax cos wt формула

X xmax cos wt формула

Ответ оставил Гость

Решение: 1. запишем уровнение гк — X = Xmax * cos (wt + Фи(0)

2. выразим Омегу (w) через период (Т) : w = 2Пи/ T => w = 4*2Пи/10 = 4Пи/5 или

6.28 / 2.4 = 2,616. 7

3. подставляем в уравнение Х = 0.05*cos(4Пи/5 * 0.6)

Механические колебания. Параметры колебаний. Гармонические колебания.

Колебанием называется процесс точно или приблизительно повторяющийся через определенные промежутки времени.

Особенность колебаний — обязательное наличие на траектории положения устойчивого равновесия, в котором сумма всех сил, действующих на тело равна нулю называется положением равновесия.

Математическим маятником называют материальную точку, подвешенную на тонкой, невесомой и нерастяжимой нити.

Параметры колебательного движения.

1. Смещение или координата (x) – отклонение от положения равновесия в данный

2. Амплитуда (Xm) – максимальное отклонение от положения равновесия.

3. Период колебаний (T) – время, за которое совершается одно полное колебание.

4. Частота (линейная) (n) – число полных колебаний за 1 с.

[n] = Гц

5. Циклическая частота (w ) – число полных колебаний за 2p секунд, т. е. приблизительно за 6,28 с.

w = 2pn ; [w] =.

6. Фаза колебаний (j) показывает какая часть периода в угловой мере прошла от начала колебаний.

Тень на экране колеблется.

Уравнение и график гармонических колебаний.

Гармонические колебания — это колебания, при которых координата изменяется с течением времени по закону синуса или косинуса.

x = X m sin ( w t + j )

Xm – амплитуда колебаний,

w – циклическая частота,

w t +j = j – фаза колебаний,

j – начальная фаза колебаний.

Графики отличаются только амплитудой

Графики отличаются только периодом (частотой)

Графики отличаются только начальной фазой

Виды колебаний. Резонанс.

Свободные и вынужденные колебания.

Колебания могут возникать как под действием сил, действующих внутри системы(внутренних), так и под действием внешних сил.

4. Колебания, возникающие под действием периодически изменяющихся внешних сил называются

5. Колебания, возникающие под действием внутренних сил называются свободными.

Частным случаем свободных колебаний являются собственные колебания. Это модель колебаний не учитывающая силу трения.

Условия возникновения свободных колебаний:

1. Наличие избыточной энергии по сравнению с положением равновесия.

2. Наличие возвращающей силы, направленной в сторону положения равновесия.

Если амплитуда колебаний уменьшается с течением времени, колебания называются затухающими .

При свободных колебаниях колебательная система получает энергию только в начальный момент времени, а далее энергия системы расходуется на преодоление трения. Поэтому свободные колебания всегда затухают.

Если амплитуда колебаний не изменяется течением времени, колебания называются незатухающими.

Собственные колебания не учитывают трения, полная механическая энергия системы, остается постоянной: Eк + Eп = Eмех = const.

Собственные колебания незатухающие.

При вынужденных колебаниях энергия, поступающая непрерывно или периодически от внешнего источника, восполняет потери, возникающие за счет работы силы трения, и колебания могут быть незатухающими.

Читайте также:  Не печатает текст в ворде что делать

Кинетическая и потенциальная энергия тела при колебаниях переходят друг в друга. Когда отклонение системы от положения равновесия максимально, потенциальная энергия максимальна, а кинетическая равна нулю. При прохождении положения равновесия, наоборот.

Частота свободных колебаний определяется параметрами колебательной системы.

Частота вынужденных колебаний определяется частотой действия внешней силы. Амплитуда вынужденных колебаний тоже зависит от внешней силы.

Резонансом называется резкое увеличение амплитуды вынужденных колебаний при совпадении частоты действия внешней силы с частотой собственных колебаний системы.

При совпадении частоты w изменения силы с собственной частотой w0 колебаний системы сила в течение всего совершает положительную работу, увеличивая амплитуду колебаний тела. При любой другой частоте в течение одной части периода сила совершает положительную работу, а в течение другой части периода — отрицательную.

При резонансе рост амплитуды колебаний может привести к разрушению системы.

В 1905 году под копытами эскадрона гвардейской кавалерии рухнул Египетский мост через реку Фонтанку в Петербурге.

Автоколебаниями называются незатухающие колебания в системе, поддерживаемые внутренними источниками энергии при отсутствии воздействия внешней переменой силы.

В отличие от вынужденных колебаний частота и амплитуда автоколебаний определяются свойствами самой колебательной системы.

От свободных колебаний автоколебания отличаются независимостью амплитуды от времени и от начального кратковременного воздействия, возбуждающего процесс колебаний. Автоколебательную систему обычно можно разделить на три элемента:

1) колебательную систему;

2) источник энергии;

3) устройство с обратной связью, регулирующее поступление энергии из источника в колебательную систему.

Энергия, поступающая из источника за период, равна энергии, потерянной в колебательной системе за то же время.

Примером механической автоколебательной системы могут служить часы с маятником.

Гармонические Колебания

Механическое гармоническое колебание — это прямолинейное неравномерное движение, при котором координаты колеблющегося тела (материальной точки) изменяются по закону косинуса или синуса в зависимости от времени.

Согласно этому определению, закон изменения координаты в зависимости от времени имеет вид:

где wt — величина под знаком косинуса или синуса; w — коэффициент, физический смысл которого раскроем ниже; А — амплитуда механических гармонических колебаний.

Уравнения (4.1) являются основными кинематическими уравнениями механических гармонических колебаний.

Рассмотрим следующий пример. Возьмем ось Ох (рис. 64). Из точки 0 проведем окружность с радиусом R = А. Пусть точка М из положения 1 начинает двигаться по окружности с постоянной скоростью v (или с постоянной угловой скоростью w , v = wА ). Через некоторое время t радиус повернется на угол ф: ф=wt .

При таком движении по окружности точки М ее проекция на ось х М х будет совершать движение вдоль оси х, координата которой х будет равна х = А • cos ф = = А • cos wt . Таким образом, если материальная точка движется по окружности радиусом А, центр которой совпадает с началом координат, то проекция этой точки на ось х (и на ось у) будет совершать гармонические механические колебания.

Читайте также:  Решение уравнений третьей степени методом кардано

Если известна величина wt, которая стоит под знаком косинуса, и амплитуда А, то можно определить и х в уравнении (4.1).

Величину wt, стоящую под знаком косинуса (или синуса), однозначно определяющую координату колеблющейся точки при заданной амплитуде, называют фазой колебания . Для точки М, движущейся по окружности, величина w означает ее угловую скорость. Каков физический смысл величины w для точки М х , совершающей механические гармонические колебания? Координаты колеблющейся точки М х одинаковы в некоторый момент времени t и (Т +1) (из определения периода Т), т. е. A cos wt = A cos w (t + Т), а это значит, что w (t + Т) — wt = 2 ПИ (из свойства периодичности функции косинуса). Отсюда следует, что

Следовательно, для материальной точки, совершающей гармонические механические колебания, величину w можно интерпретировать как количество колебаний за определенный цикл времени, равный 2л . Поэтому величину w назвали циклической (или круговой) частотой .

Если точка М начинает свое движение не из точки 1 а из точки 2, то уравнение (4,1) примет вид:

Величину ф 0 называют начальной фазой .

Скорость точки М х найдем как производную от координаты по времени:

Ускорение точки, колеблющейся по гармоническому закону, определим как производную от скорости:

Из формулы (4.4) видно, что скорость точки, совершающей гармонические колебания, изменяется тоже по закону косинуса. Но скорость по фазе опережает координату на ПИ/2 . Ускорение при гармоническом колебании изменяется по закону косинуса, но опережает координату по фазе на п . Уравнение (4.5) можно записать через координату х:

Ускорение при гармонических колебаниях пропорционально смещению с противоположным знаком. Умножим правую и левую части уравнения (4.5) на массу колеблющей материальной точки т, получим соотношения:

Согласно второму закону Ньютона, физический смысл правой части выражения (4.6) есть проекция силы F x , которая обеспечивает гармоническое механическое движение:

Величина F x пропорциональна смещению х и направлена противоположно ему. Примером такой силы является сила упругости, величина которой пропорциональна деформации и противоположно ей направлена (закон Гука).

Закономерность зависимости ускорения от смещения, вытекающую из уравнения (4.6), рассмотренную нами для механических гармонических колебаний, можно обобщить и применить при рассмотрении колебаний другой физической природы (например, изменение тока в колебательном контуре, изменение заряда, напряжения, индукции магнитного поля и т. д.). Поэтому уравнение (4.8) называют основным уравнением динамики гармонических колебаний .

Читайте также:  Диспетчер устройств kali linux

Рассмотрим движение пружинного и математического маятников.

Пусть к пружине (рис. 63), расположенной горизонтально и закрепленной в точке 0, одним концом прикреплено тело массой т, которое может перемещаться вдоль оси х без трения. Коэффициент жесткости пружины пусть будет равен k. Выведем тело m внешней силой из положения равновесия и отпустим. Тогда вдоль оси х на тело будет действовать только упругая сила, которая согласно закону Гука, будет равна: F yпp = -kx.

Уравнение движения этого тела будет иметь вид:

Сравнивая уравнения (4.6) и (4.9), делаем два вывода:

  1. Движение тела на пружине будет происходить по гармоническому закону, т. е. тело m будет совершать механические гармонические колебания;
  2. Сравнивая коэффициенты перед х уравнений (4.6) и (4.9), заключаем, что циклическая частота этих гармонических колебаний будет равна:

Из формул (4.2) и (4.10) выводим формулу для периода колебаний груза на пружине:

Математическим маятником называется тело массой т, подвешенное на длинной нерастяжимой нити пренебрежимо малой массы. В положении равновесия на это тело будут действовать сила тяжести и сила упругости нити. Эти силы будут уравновешивать друг друга.

Если нить отклонить на угол а от положения равновесия, то на тело действуют те же силы, но они уже не уравновешивают друг друга, и тело начинает двигаться по дуге под действием составляющей силы тяжести, направленной вдоль касательной к дуге и равной mg sin a .

Уравнение движения маятника принимает вид:

Знак минус в правой части означает, что сила F x = mg sin a направлена против смещения. Гармоническое колебание будет происходить при малых углах отклонения, т. е. при условии а 2* sin a .

Заменим sin а в уравнении (4.12), получим следующее уравнение:

Уравнение (4.13) показывает, что ускорение колебания маятника прямо пропорционально смещению и противоположно ему направлено. Следовательно, маятник будет совершать механические гармонические колебания с циклической частотой

и поэтому, согласно уравнению (4.2), период колебаний его будет равен:

Превращение энергии при гармонических механических колебаниях рассмотрим на примере пружинного маятника. В любой момент времени полная энергия колеблющегося груза (Е полн ) будет состоять из кинети-

Полная энергия при гармонических механических колебаниях пропорциональна квадрату амплитуды и квадрату циклической частоты.

На рис. 65 качественно изображены графики зависимостей потенциальной и кинетической энергии пружинного маятника от координаты х.

На рис. 66 представлены качественные графики зависимостей кинетической и потенциальной энергии от времени.

За начальный момент времени принято положение тела, максимально отклоненное от положения равновесия. Частота колебания потенциальной и кинетической энергии в два раза больше, чем частота колебания движущегося тела.

Ссылка на основную публикацию
Touchpal bengali pack что это
Главным инструментом для ввода текстовой информации на ПК считается клавиатура. Для мобильных устройств аналогом возможно считать приложение TouchPal. Многие могут...
Kingston scsi disk device
SCSI (англ. Small Computer System Interface , произносится «скази» [1] [2] (встречается вариант эс-си-эс-ай)) — представляет собой набор стандартов для...
Logitech options не видит мышь
ОДНО ПРИЛОЖЕНИЕ. ПОЛНОЕ УПРАВЛЕНИЕ УСТРОЙСТВАМИ. Logitech G HUB ОПТИМАЛЬНАЯ СРЕДА ПОДДЕРЖКИ ПО Logitech G HUB представляет собой единый центр управления,...
Usb vid 534d pid 0021 mi 00
1. Скачайте необходимый файл. Розархивируйте его в какую-нибудь директорию. 2. В диспетчере устройств выберите устройство, которое требует установки/обновления драйвера. 3....
Adblock detector